경영과학/최적화, 다변량 통계분석, 머신러닝을 제대로 이해하고 활용하려면 선형대수(linear algebra)와 미적분(differential and integral)에 대한 이해가 필요합니다. 상호 연결되어 있고 영향을 미치는 복잡한 세상에서 단변량만을 가지고 문제를 풀기에는 역부족이기 때문에 다수의 변수를 가진 문제를 풀어야 하는 경우가 대부분입니다.

 

따라서, 경영과학/최적화에 들어가기 전에 그 기초가 되는 행렬(matrix)에 대한 기초와 행렬 연산에 대해서 알아보도록 하겠습니다.  행렬을 사용하면 1차 연립방정식을 시각적으로 보기에 깔끔하고 편리하게 나타낼 수 있으며, 최적화 기법 중에 선형계획법을 풀 때 이를 사용할 수 있고, 컴퓨터로 해를 찾을 때도 행렬식으로 목적함수와 제약조건을 입력하게 됩니다.  왜 행렬에 대한 기본 개념과 연산에 대해서 먼저 짚고 넘어가야 하는지 이해가 되셨을 겁니다.  

 

이공계 계열을 전공한 분이라면 기본적으로 선형대수, 미적분은 배웠을 텐데요, 문과생들은 그렇지 못하다보니 처음에 최적화, 다변량 통계분석에 나오는 수식을 보고는 이게 무슨 소리인지 이해를 못해서 어려움을 겪고, 심하면 좌절하고 포기하기도 쉽답니다. (제가 처음에 그랬습니다. 시계열분석 공부하다가 수식에 질려서 토할 것 같은 어지럼증을...^^;)

 

 

행렬(matrix)이란 숫자나 상징, 표현을 직사각형 또는 정사각형 모양으로 m행과 n열로 배열하고 괄호로 묶은 것을 말합니다(* Wikipedia : "In mathematics, a matrix (plural matrices) is a rectangular array of numbers, symbols, or expressions, arranged in rows and columns").  괄호 안의 각각의 수를 성분(entries)이라고 하며, m행 n열로 구성된 행렬은 'm x n 행렬'이라고 말하며, 아래와 같이 표기합니다.

 

 

[ m * n 행렬 (m * n matrix) ]

 

 

 

 

행(column)과 열(row)의 개수가 n개로 같은 행렬을' n차 정방행렬(a square matrix of order n)'이라고 하며, 아래와 같이 표기합니다.

 

 

[ n차 정방행렬 (a square matrix of order n) ]

 

 

 

 

1차 연립방정식을 행렬을 이용해서 표기하면 아래와 같이 할 수 있습니다. 왼쪽의 연립방정식 대비 오른쪽의 행렬이 많이 깔끔해보이지요?  (경영과학 처음 배울 때 가우스 소거법에 아래 행렬 표기를 사용한답니다.)

 

 

[ 1차 연립방정식(simultaneous equations) 의 행렬 표기 ]

 

 

R을 활용하여 행렬(matrix)를 입력하는 방법에는 (1) rbind(), (2) cbind(), (3) matrix()의 3가지가 있습니다.  아래에 차례대로 소개하였습니다.

 

 

 

> ##---------------------------------------------------------------------
> ## matrix algebra
> ##---------------------------------------------------------------------
> 
> # data key-in way 1 : rbind()
> row_1 <- c(1, 2, 3, 4)
> row_2 <- c(5, 6, 7, 8)
> 
> data_rbind <- rbind(row_1, row_2)
> data_rbind
      [,1] [,2] [,3] [,4]
row_1    1    2    3    4
row_2    5    6    7    8
> 
> # column naming
> colnames(data_rbind) <- paste("col_", 1:4, sep="")
> 
> data_rbind
      col_1 col_2 col_3 col_4
row_1     1     2     3     4
row_2     5     6     7     8
> 
> 
> # data key-in way 2 : cbind()
> column_1 <- c(1, 5)
> column_2 <- c(2, 6)
> column_3 <- c(3, 7)
> column_4 <- c(4, 8)
> 
> data_cbind <- cbind(column_1, column_2, column_3, column_4)
> data_cbind
     column_1 column_2 column_3 column_4
[1,]        1        2        3        4
[2,]        5        6        7        8
> 
> # row naming
> rownames(data_cbind) <- paste("row_", 1:2, sep="")
> data_cbind
      column_1 column_2 column_3 column_4
row_1        1        2        3        4
row_2        5        6        7        8
> 
> 
> # data key-in way 3 : matrix()
> raw_data <- c(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)
> data_matrix <- matrix(raw_data, byrow=TRUE, nrow=2)
> data_matrix
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    2    3    4
[2,]    5    6    7    8
> 
> # giving names to the rows and columns of the data table : dimnames()
> dimnames(data_matrix) <- list("row" = c("row_1", "row_2"), 
+                               "column" = c("col_1", "col_2", "col_3", "col_4"))
> 
> data_matrix
       column
row     col_1 col_2 col_3 col_4
  row_1     1     2     3     4
  row_2     5     6     7     8

 

 

 

 

행렬에서 행이나 열을 하나만 인덱싱하게 되면 벡터로 바뀌게 되는데요, 벡터가 아니라 행렬로 계속 차원을 유지하고 싶을 경우에는 drop=FALSE 옵션을 써주면 됩니다.

 

> # make it sure to be a matrix : drop = FALSE > data_index <- data_matrix[,2] > data_index row_1 row_2 2 6 > > class(data_matrix) [1] "matrix" > class(data_index) [1] "numeric" > > str(data_matrix) num [1:2, 1:4] 1 5 2 6 3 7 4 8 - attr(*, "dimnames")=List of 2 ..$ row : chr [1:2] "row_1" "row_2" ..$ column: chr [1:4] "col_1" "col_2" "col_3" "col_4" > str(data_index) Named num [1:2] 2 6 - attr(*, "names")= chr [1:2] "row_1" "row_2" > > > data_drop_false <- data_matrix[, 2, drop = FALSE] > data_drop_false column row col_2 row_1 2 row_2 6 > > class(data_drop_false) [1] "matrix" > str(data_drop_false) num [1:2, 1] 2 6 - attr(*, "dimnames")=List of 2 ..$ row : chr [1:2] "row_1" "row_2" ..$ column: chr "col_2"

 

 

 

 

다음번 포스팅에서는 특수한 형태의 행렬에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

많은 도움 되었기를 바랍니다.  

 

행렬, 벡터 관련 포스팅은 아래 링크를 걸어놓았습니다.

 

특수한 형태의 행렬

가우스 소거법을 활용한 역행렬 계산

여인수를 활용한 역행렬 계산

행렬의 기본 연산 (+, -, *, /, ^, %*%, colMeans(), rowMeans(), colSums(), rowSums())

벡터의 기본 이해와 연산 (vector: addition, subtraction, multiplication by scalar)

벡터의 곱 (1) 내적 (inner product, dot product, scalar product, projection product)

벡터의 곱 (2) 외적 (outer product, cross product, vector product, tensor product)

 

 

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SAS나 SPSS를 사용하다가 R을 처음 배우는 사용자라면 R에서 7개로 나누는 데이터 구조에 대해서 '이걸 왜 배우지? SAS나 SPSS는 이런거 모르고도 아무 문제 없이 데이터 처리, 분석 다 했었는데...'라는 의문과 함께, 'R 이거 배우기 어렵네...'라고 푸념할 수도 있겠습니다. 제가 그랬거든요. (SAS나 SPSS에서 주로 사용했던 데이터 구조가 R의 데이터 구조 중에서는 '데이터 프레임' or '행렬'이라고 하는 구조라고 생각하시면 됩니다. 전부다는 아니고 많은 경우....)


R의 데이터 구조별 특성에 대해서 정확하게 이해하지 않으면 나중에 데이터 처리, 분석 넘어갔을 때 자꾸 헷갈리고, 에러가 났을 때 에러 메시지가 무슨 의미인지 이해를 못할 가능성이 높습니다. 데이터 구조에 따라서 분석기법이 달라지게 되거든요. 라틴댄스로 치자면 빨리 '패턴' 배워서 멋지게 파트너와 춤추고 싶은데 선생님은 한달이고 두달이고 '스탭'만 연습시키는데요, 어찌보면 따분하고 답답한 '스탭' 기본기가 R로 치면 데이터 구조라고 생각하시면 되겠습니다. R의 기본이 되는 중요한 개념이므로, 그리고 나중에 이게 제대로 이해가 되고 R이 손에 익었다 싶을 때 다시 되돌아 보면 R에서 데이터 구조를 이렇게 나누어서 분석 기법을 달리 하는 것이 R의 차별화된 장점이자 특징이겠구나 하고 느끼게 되는 시점이 올겁니다. 


R 데이터 구조는 (1) 스칼라, (2) 벡터, (3) 요인, (4) 행렬, (5) 배열, (6) 데이터프레임, (7) 리스트의 7개로 나눌 수 있습니다. 하나씩 설명을 할텐데요, 처음에 잘 이해가 안가도 자꾸 R 사용하면서 다시 이번 포스팅 다시 돌아와서 한번씩 복습하시면 이해되는 날이 올거예요. (제가 Coursera로 강의 듣는데 R 데이터 구조라면서 강사가 막 영어로 뭐라 뭐라 하는데.... 뭔 소리인지 이해도 안되고, 이걸 왜 배우나 싶고, 짜증도 나고, 좌절도 되고...암튼 그랬는데요, 어느 순간 지나서 보니깐 다 이해를 하고 있더라고요. 한번 보고서 이해 안된다고 좌절하지 마시라는 뜻에서 자꾸 같은 소리 하고 있습니다. ^^;;;)



1. 스칼라 (Scala)


구성인자가 하나인 벡터를 말합니다. 


> # 스칼라 (Scala) : 구성인자가 1개인 벡터

> s1 <- c(1)

> s2 <- c("Kim") 



2. 벡터 (Vector)


벡터는 동일한 유형의 데이터가 구성인자가 1개 이상이면서 1차원으로 구성되어 있는 데이터 구조를 말합니다. 

(벡터 중에서 구성인자가 1개인 것을 '스칼라'라고 합니다)


> # Vector

> v1 <- c(1, 2, 3)                   # 숫자형 벡터

> v2 <- c("Kim", "Lee", "Choi")    # 문자형 벡터

> v3 <- c(TRUE, TRUE, FALSE)   # 논리형 벡터



3. 요인 (Factor) 


범주형(명목형 또는 순서형)의 데이터 구조를 요인(Factor)라고 합니다. 통계 분석 할 때 소위 '~~별' 분석을 할 때 쓰는게 요인이므로 굉장히 많이 사용됩니다. 나중에 분석을 하다보면 (1) '요인'으로 데이터를 변환해야 하는 경우도 생기고, (2) 반대로 '요인'이 아니어야 하는데 '요인'으로 데이터가 입력이 되어있어서 에러가 발생하는 경우도 생기곤 합니다. '요인'이 뭔지, 뭐에 쓰는 것인지 모르면 두 가지 경우 상황 파악을 못해서 곤혹스럽겠지요? 

요인이 가질 수 있는 값들을 '수준(level)'이라고 합니다. RDBMS에서의 '코드값'이라고 이해하면 되겠습니다. 수준(level)은 명목형은 상관없지만, 순서형의 경우 순서(order)를 부여할 수 있습니다. 분석 결과가 순서대로 범주화 되서 나와야 보기에 좋겠지요?


> # (1) 문자형 데이터를 그냥 입력하면, 따옴표가 있는 문자형 벡터가 생성

> f1 <- c("Middle", "Low", "High")

> f1

[1] "Middle" "Low"    "High"  

>

> # (2) factor()함수를 이용해서 문자형 벡터를 요인(factor)로 변환

> # 단, 순서를 지정 안해주면 알파벳 순서로 수준(level)이 자동으로 지정됨

> f2 <- factor(f1)

> f2

[1] Middle Low    High  

Levels: High Low Middle

>

> # (3) 수준(level)에 순서를 부여하려면 'order=TRUE' 옵션 설정, level=c("") 에 순서대로 입력

> f3 <- factor(f2, order = TRUE, level = c("Low", "Middle", "High"))

> f3

[1] Middle Low    High  

Levels: Low < Middle < High 



4. 행렬 (Matrix) 


행렬은 동일한 유형의 2차원 데이터 구조를 말합니다. (쉽게 말해 m x n 형태의 표 형태의 데이터)

참고로, 벡터는 동일한 유형의 1차원 데이터 구조라고 했지요. (쉽게 말해, 가로로 늘어선 한 줄 데이터)


행렬은 matrix() 라는 함수를 사용합니다. 

최적화(optimization) 할 때 제약조건을 행렬로 입력합니다. 공학에서 행렬 많이 사용합니다. 


> # 1~12까지의 숫자를 행(row)의 수가 4개인 행렬로 만들어라

> m1 <- matrix(1:12, nrow=4)

> m1

     [,1] [,2] [,3]

[1,]    1    5    9

[2,]    2    6   10

[3,]    3    7   11

[4,]    4    8   12

> # 1~12까지의 숫자를 행(row)의 수가 4개이고 행렬로 만드는데, 행 기준(byrow=TRUE)으로 채워나가라

> m2 <- matrix(1:12, nrow=4, byrow=TRUE)

> m2

     [,1] [,2] [,3]

[1,]    1    2    3

[2,]    4    5    6

[3,]    7    8    9

[4,]   10   11   12

>  



5. 배열 (Array) 


배열(Array)은 동일한 유형의 데이터가 2차원 이상으로 구성된 구조를 말합니다. 

참고로, 행렬은 동일한 유형의 2차원 데이터 구조라고 했지요. 따라서 배열은 쉽게 말해 행렬이라는 방을 층 층이 쌓아놓은 아파트라고 생각하시면 되겠습니다. 


> # 1~24까지의 숫자를 '2 x 3 행렬'로 해서 '4층' 짜리의 데이터 구조를 만들어라

> a1 <- array(1:24, c(2,3,4))

> a1

, , 1


     [,1] [,2] [,3]

[1,]    1    3    5

[2,]    2    4    6


, , 2


     [,1] [,2] [,3]

[1,]    7    9   11

[2,]    8   10   12


, , 3


     [,1] [,2] [,3]

[1,]   13   15   17

[2,]   14   16   18


, , 4


     [,1] [,2] [,3]

[1,]   19   21   23

[2,]   20   22   24 



> # 1~24까지의 숫자를 '3 x 4' 행렬로 해서 '2층'짜리의 데이터 구조를 만들어라

> a2 <- array(1:23, c(3,4,2))

> a2

, , 1


     [,1] [,2] [,3] [,4]

[1,]    1    4    7   10

[2,]    2    5    8   11

[3,]    3    6    9   12


, , 2


     [,1] [,2] [,3] [,4]

[1,]   13   16   19   22

[2,]   14   17   20   23

[3,]   15   18   21    1





6. 데이터 프레임 (Data Frame) 


데이터 프레임데이터 유형에 상관없이 2차원 형태의 데이터 구조를 말합니다. 

참고로, 행렬동일한 유형의 데이터가 2차원 형태로 구성되었다고 했지요. 

통계, 마이닝 분석할 때 데이터 프레임을 주로 사용합니다. 


> # 다른 유형의 벡터 생성

> d1 <- c(1,2,3,4)

> d2 <- c("Kim", "Lee", "Choi", "Park")

> # 데이터 프레임으로 묶기 : data.frame() 함수 사용

> d3 <- data.frame(cust_id = d1, last_name = d2)  # 변수명 부여

> d3

  cust_id last_name

1       1       Kim

2       2       Lee

3       3      Choi

4       4      Park 



7. 리스트 (List) 


리스트는 벡터, 행렬, 배열, 데이터 프레임 등과 같은 서로 다른 구조의 데이터를 모두 묶은 객체를 말합니다. 

참고로, 리스트 말고 나머지들은 서로 다른 구조의 데이터 끼리는 묶어 놓지 않았고 따로 따로 였지요. 

R에서는 통계 분석 결과가 보통 리스트 구조로 제시되고, 필요로 하는 통계량이 있으면 indexing해서 뽑아서 쓰기도 합니다. 

서로 다른 구조의 다수의 데이터 객체를 개별로 따로 따로 관리하는 것보다는, 이것들을 리스트라는 한 바구니에 가지런히 정리해서 모아놓으면 관리하기에 편하겠지요? 


> # Vector(L1), Matrix(L2), Array(L3), Data Frame(L4)를 만들어서, 하나의 List(L5)로 묶어라

> L1 <- c(1, 2, 3, 4) # Vector

> L2 <- matrix(1:6, 3, byrow=TRUE) # Matrix

> L3 <- array(1:24, c(3,4,2)) # Array

> L4 <- data.frame(cust_id = c(1, 2, 3, 4), last_name = c("Kim", "Lee", "Choi", "Park")) # Data Frame

> L5 <- list(L1, L2, L3, L4) # List

>

> # [[1]]는 Vector(L1), [[2]]는 Matrix(L2), [[3]]는 Array(L3), [[4]]는 Data Frame(L4)가 묶인 것임

> L5

[[1]]

[1] 1 2 3 4


[[2]]

     [,1] [,2]

[1,]    1    2

[2,]    3    4

[3,]    5    6


[[3]]

, , 1


     [,1] [,2] [,3] [,4]

[1,]    1    4    7   10

[2,]    2    5    8   11

[3,]    3    6    9   12


, , 2


     [,1] [,2] [,3] [,4]

[1,]   13   16   19   22

[2,]   14   17   20   23

[3,]   15   18   21   24



[[4]]

  cust_id last_name

1       1       Kim

2       2       Lee

3       3      Choi

4       4      Park

 


지금까지 살펴본 R의 데이터 구조를 도식화하면 아래와 같습니다. 뭐가 뭐의 부분집한인지, 각 데이터 구조를 구분하는 기준은 무엇인지 유심히 다시 한번 살펴보기 정리해보면 좋겠습니다. 



[ R 데이터 구조 (Data Structure in R) ]



많은 도움 되었기를 바랍니다.

 

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Posted by R Friend R_Friend

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  1. ㅇㅇㅇ 2016.12.13 08:47  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    흐 어렵지만.. 조금씩 배우면 할 수 있겠죠

  2. 온봄 2017.03.27 12:25  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    그간 R을 전혀 R지못해서, 조금씩 R아가고 있는데요~
    선생님이 차근차근 정리해주신 내용들이 참 많은 도움이 되고 있습니다 ^^ 이해하기 쉽게 친절히 정리해주셔서 고맙습니다.

  3. r뻔 2017.04.12 18:55  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    코세라하면서 멍하니 막막해 하고 있었는데 한 줄기 단비 같은 정리 입니다. 이렇게 고급진 메뉴얼에 너무 감사드리고 앞으로도 많은 가르침 부탁 드립니다!!!!

  4. guest 2017.09.02 14:55  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    제가 지금까지 제가 설명 중에 가장 잘 정리되어있네요. 많이 도움받고 갑니다. 공부를 정말 열심히 하시나봐요.

  5. orange 2018.01.21 16:31  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    진짜 설명 기초부터 잘 해주셔서 많이 배우고 갑니다!!! 너무 감사드려요 ㅎㅎㅎ

  6. 감사합니다 2018.04.13 08:31  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    진짜 이렇게 깔끔한 순서와 친절한 설명이... 감사합니다!

  7. 감사합니다. 2018.04.15 22:12  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    감사합니다^^ 혹시 오프라인 강의도 하시나요?

  8. 박수환 2018.08.06 03:08  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    쌤, 진짜 막혀있던 혈이 풀리는 포스팅입니다 ㅜㅜ
    독학하다가 어딘가 알게 모르게 혼란에 빠지곤 했는데, 구조와 유형의 의미를 명확히 알게 되었습니다.
    이 포스팅은 정말 막힐때마다 와서 개념잡기용으로 다시 봐야겠어요.
    정말 감사합니다!!