R (6) 벡터의 곱 - [1] 내적 (inner product, dot product, scalar product, projection product)

지난번 포스팅에서는 벡터의 기본 개념과 벡터의 합, 차, 스칼라배에 대해서 알아보았습니다.

이번 포스팅에서는 2가지의 벡터의 곱중에서 먼저 내적(inner product, dot product, scalar product,  projection product)을 소개하고, 다음번 포스팅에서 외적(outer product, cross product, vector product, directed area product)에 대해서 다루도록 하겠습니다.

[ 벡터 곱 2가지 종류 (2 types of Vector Multiplication) ]

내적(inner product, dot product)과 외적(outer product, cross product)을 비교해보면 아래 표와 같은데요, 처음에 보면 무슨 뜻인가 이해가 안갈 수도 있겠습니다. 내적과 외적의 설명을 다 읽어보시고 마지막으로 종합해서 다시 한번 정리하는데 활용하면 좋겠습니다.

[ 벡터의 내적과 외적 비교 ]

(comparison between inner(or dot) product and outer(or cross) product of vector)

이제 내적(inner product)에 대해서 하나씩 설명해보도록 하겠습니다.

(1) 내적의 표기 (notation and symbol of the inner product)

두 벡터의 내적(inner product)은 아래 그림처럼 「.」(dot)으로 표기하며, 이래서 점곱(dot product)이라고도 말합니다.  혹은 (a, b)와 같이 표기하기도 합니다.  결과값이 스칼라이기 때문에 스칼라곱(scalar product)이라고도 하며, 계산할 때 한쪽 벡터의 코사인값을 사용하기 때문에 (즉, 한쪽 벡터에 직사광선을 쪼였을 때 그 그림자에 해당하는 코사인값을 사용) 영사곱(projection product)이라고도 말합니다.

똑같은 개념을 두고 왜 이리 표현하는 말들이 많은지 의아할 수도 있겠는데요, 대수학, 기하학, 물리학 등의 학문영역별로 명칭, 표기가 다르다는 정도만 이해하면 되겠습니다.  최적화에서도 민감도분석할 때 보면 수학자는 쌍대변수(dual variable)이라고 말하는데 경제학자들은 잠재가격(shadow price)라고 말하거든요.  헛갈리는데 다 같은 말입니다. ^^;

(2) 내적의 정의 (difinition of the inner product)

R^n 내의 두 열 벡터 a, b에 대하여 곱 T(a)b 의 결과인 단일 성분을 갖는 1 * 1 행렬, 즉 하나의 실수인 Scalar 가 내적(inner product)이 되겠습니다.  그 수식을 풀어써보면 아래와 같은 계산식이 되며, 그 output은 스칼라(Scalar)가 됩니다. 

참고로, 외적(outer product)은 output이 벡터(Vector)가 됩니다. 

아래에 두개의 성분(2차원, 2 dimension)을 가지는 열벡터 a=(-5, 6), b=(3, 9)의 내적 예와 세 개의 성분(3차원, 3 dimensions)을 가지는 열벡터 c=(5, 3, 6), d=(2, 7, 4)에 대한 내적 계산을 소개하였습니다.  같은 행의 component끼리 각각 곱해서 모두 더하면 됩니다.

위의 2개의 문제를 R의 '%*%' 함수를 사용해서 풀어보면 아래와 같습니다. 

위에서 소개한 공식을 가지고 아래에 사용자정의 함수도 한번 만들어봤습니다.  R에 내적계산을 위한 함수로 '%*%'가 있기 때문에 굳이 사용자정의함수를 사용할 필요는 없겠습니다만, 개념을 이해하는 차원에서 참고하시기 바랍니다.

> ##-------------------------------------- > ## multiplying a vector by a vector > ##-------------------------------------- > > > ##--------- > ## (1) dot product > > ## vector with 2 components (dimensions) > a <- c(-5, 6) > b <- c(3, 9) > > # dot product of vector with 2 components (dimensions) : (a) %*% > a %*% b [,1] [1,] 39 > > > # dot product of vector with 2 components : (b) user defined function > dot_prod_fun_v2 <- function(a, b) { + if(length(a)!=2 | length(b) !=2) stop('number of vector component is not 2') + d <- a[1]*b[1] + a[2]*b[2] + return(d) + } > > dot_prod_fun_v2(a=a, b=b) [1] 39 > > > > ## vector with 3 components (dimensions) > c <- c(5, 3, 6) > d <- c(2, 7, 4) > > # dot product of vector with 3 components (dimensions) : (a) %*% > c %*% d [,1] [1,] 55 > > > # dot prduct of vector with 3 components : (b) user defined function > dot_prod_fun_v3 <- function(c, d) { + if(length(c)!=3 | length(d) !=3) stop('number of vector component is not 3') + dot_prd <- c[1]*d[1] + c[2]*d[2] + c[3]*d[3] + return(dot_prd) + } > dot_prod_fun_v3(c=c, d=d) [1] 55

(3) 내적의 성질 (properties of the inner product)

수학자들이 정의하는 실내적공간(real inner product space, or real pre-Hilbert space)의 정의와 공리는 아래와 같습니다.  실내적의 공리로 교환법칙(commutative law), 임의의 실수 c곱의 자유로운 이동 가능, 분배법칙(distributive law) 등의 공리도 아래에 소개하였습니다.

(4) 내적의 계산 원리, 방법 1 (1st formula of the inner product calculation)

내적을 계산하는 원리, 방법중에 벡터를 성분분해해서 각 성분들의 벡터의 길이(length of vector, norm)를 가지고 곱한 후 더하는 방법으로 구하는 방법이 있습니다.  아래 그림에 벡터 a를 ax, ay로, 벡터 b를 bx, by로 분해한 후에 내적을 구하는 방법을 소개해 보겠습니다. 힘과 방향을 가지는 벡터를 분해할 수 있다는 것은 벡터 연산을 할 때 굉장히 중요한 개념입니다. 참고로, 벡터와 스칼라를 곱했을 때도 분해한 벡터 성분에 스칼라를 각각 구해서 구하게 됩니다.

(5) 내적의 계산 원리, 방법 2 (2nd formula of the inner product calculation)

내적을 계산하는 또 한가지 방법은 벡터의 힘의 크기 또는 길이(magnitude or length of vector, norm)와 각도(angle between vector a and b)를 이용하는 방법입니다.  벡터의 힘의 크기 또는 길이는 "norm" 이라고도 불립니다.  두 개중 한개의 벡터에 빛을 비추었을 때 직각으로 생기는 그림자 (=vector a * cosine(θ))에다가 나머지 다른 한개의 벡터를 곱하는 개념입니다.

위의 내적 구하는 공식에 cos(θ)가 사용이 되었는데요, 참고로 직각삼각형 ABC의 삼각함수(trigonometric functions) sine, cosine, tangent 구하는 공식은 아래와 같습니다. 

참고로 벡터의 힘의 크기 또는 길이(magnitude or length of vector), 또는 다른 말로 "norm" |a|, |b|를 구하는 방법은 아래와 같습니다. 

(6) 내적을 활용한 두 벡터의 각도 계산 (calculating the angle between vector a and b)

위에서 소개한 두 벡터의 내적을 구하는 공식을 사용하면 벡터의 길이(length of vector)를 구하거나 혹은 두 벡터간 각도(angle between vector a and b)를 구할 수 있습니다.  왜 내적을 공부해야 하지, 내적을 어디에 써먹을 수 있지 궁금하셨을 것 같은데요, 위에서 예로 들었던 두 벡터 a=(-5, 6), b=(3, 9)의 각도를 내적을 활용해서 구해보도록 하겠습니다.

참고로, 위 계산 절차의 제일 마지막에 cos^-1(0.526354)*57.3 을 했는데요, inverse(cos(0.526354))를 통해서 계산된 값이 degree 가 아니라 radian 이기 때문에 1 radian 은 약 57.3 이므로 이를 곱해준 것입니다.  degree는 우리가 일반적으로 사용하는 것처럼 원을 0~360도 표기하는 방법이구요, radian은 부채꼴의 호의 길이와 반지름의 길이가 같게 되는 각도를 1 radian이라고 합니다.

180 degree = π radian 이며, 1 radian = 180 degree/ π = 57.3 입니다.

이를 R을 사용해서 계산해보면 아래와 같습니다.  사용자정의함수로 작성했습니다. 참고로, 함수 acos()는 cos()의 inverse 함수입니다.

> # angle between vector a and b > a <- c(-5, 6) > b <- c(3, 9) > > angle_theta <- function(a, b){ + dot.prod <- a%*%b + norm.a <- norm(a, type="2") + norm.b <- norm(b, type="2") + theta_radian <- acos(dot.prod / (norm.a * norm.b)) + angle_theta <- 57.3*theta_radian + as.numeric(angle_theta) + + return(angle_theta) + } > > angle_theta(a, b) [,1] [1,] 58.24481

위의 예에서는 이해를 돕기 위해서 2차원 (구성요소가 2개) 벡터 a, b를 가지고만 설명을 했는데요, 내적은 실벡터공간 내 3차원, 4차원, ..., n차원 벡터 모두에 대해서 가능합니다.  반면 외적은 3차원 유클리디안 공간에서만 가능합니다.

다음 번에는 벡터의 곱 두번째로 외적 (outer product, cross product, vector product, tensor product) 에 대해서 소개하도록 하겠습니다.

많은 도움되었기를 바랍니다.

행렬, 벡터 관련 포스팅은 아래 링크를 걸어놓았습니다.

 

☞ 행렬 기본 이해

☞ 특수한 형태의 행렬

☞ 가우스 소거법을 활용한 역행렬 계산

☞ 행렬의 기본 연산 (+, -, *, /, ^, %*%, colMeans(), rowMeans(), colSums(), rowSums()) 

☞ 벡터의 기본 이해와 연산 (vector: addition, subtraction, multiplication by scalar)

☞ 벡터의 곱 (2) 외적 (outer product, cross product, vector product, tensor product)

 

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