지난번 포스팅에서 벡터의 곱 첫번째로 내적 (inner product, dot product, scalar product, projection product)에 대해서 알아보았습니다.


이번에는 벡터의 곱 두번째로 외적 (outer product, cross product, vector product, tensor product)에 대해서 알아보도록 하겠습니다.  외적을 나타내는 똑같은 말이 여러개 있는데요, 아래에 외적 설명한 내용을 보다보면 자연스레 이해가 되실것 같습니다.



[ 2 종류의 벡터 곱 (2 types of vector multiplication) ]





아래에는 내적과 외적을 비교한 표입니다. 처음 보면 잘 이해가 안갈 수도 있는데요, 아래의 내용을 한번 쭉 보시고 마지막에 요약 정리할 때 참고하시면 도움이 될 듯 합니다. 큰 차이점 하나만 들자면, 내적(inner product)은 계산 결과로 스칼라(scalar)가 되지만, 외적(outer product)은 계산 결과가 두 벡터 a와 b에 수직이 되는 벡터(vector)가 된다는 점입니다. 



[ 내적와 외적 비교 ]

(comparison between inner product and outer product)




이제 외적(outer product)에 대해서 차근차근 설명해 보겠습니다.



(1) 외적의 표기 (notation and symbol of outer product)


두 벡터 a, b의 외적은 a x b 라고 쓰고 "a cross b"라고 읽습니다.  외적을 교차곱 (cross product)이라고도 부르는 이유가 여기에 있습니다.  (참고로, 내적은 a·b 로 표기하고 a dot b 라고 읽으며 dot product 이라고도 함)





(2) 외적의 정의 (definition of outer product) 


두 벡터 a와 b에 모두 수직이 되는 벡터로서, v와 수직이 되는 두 벡터 a와 b는 공간 속의 평면 위에 있는 한 평행사변형의 두 변을 이루게 되며, 그 벡터의 길이(힘의 크기) |v|는 평행사변형의 면적과 같습니다.







(3) 외적 계산을 쉽게 기억하는 방법 (easy way to memorize outer product calculation method)


내적 대비 외적 계산하는 방법이 많이 어려워보일 수 있는데요, 아래처럼 벡터 a와 b의 component를 두번씩 세로로 써 놓고 두번재째 행부터 순차적으로 대각선으로 곱하고 빼나가면 v1, v2, v3를 구할 수 있습니다.





(4) 벡터 외적 R 사용자 정의 함수 (R user-defined function of outer product)


벡터 외적을 구하는 R 패키지, 함수가 분명 있을 것 같은데요, 제가 아직 못찾았습니다.  그래서 위에 소개한 공식대로 아래에 사용자 정의함수 프로그래밍 한거 소개합니다.  혹시라도 외적 구하는 R 패키지랑 함수 알고 계신분은 댓글로 공유해주시면 감사하겠습니다. 



> ##---------
> # (2) cross product of vector with 3 components : user defined function
> # a * b = |a|*|b|*sin(theta)*n
> 
> cross_prod_fun_v3 <- function(a, b) {
+   if(length(a)!=3 | length(b) !=3) stop('number of vector component is not 3')
+   c_x <- a[2]*b[3] - a[3]*b[2]
+   c_y <- a[3]*b[1] - a[1]*b[3]
+   c_z <- a[1]*b[2] - a[2]*b[1]
+   cross_prd <- c(c_x, c_y, c_z)
+   return(cross_prd)
+ }
> 
> a <- c(2, 3, 4)
> b <- c(5, 6, 7)
> 
> cross_prod_fun_v3(a=a, b=b)
[1] -3  6 -3

 



R의 %*%, crossprod() 함수는 외적이 아니라 내적을 계산한 결과를 내보내주므로 헷갈리지 않도록 해야겠습니다.  아래에 a=(2, 3, 4)와 b=(5, 6, 7) 벡터를 가지고 %*%, crossprod() 함수를 적용해봤더니 내적으로 계산해서 스칼라(scalar)가 나온것을 알 수 있습니다. (not vector, but scalar)



> # cautions: crossprod() function of R produces dot product, not cross product
> a <- c(2, 3, 4)
> b <- c(5, 6, 7)
> 
> a %*% b # dot product
     [,1]
[1,]   56
> 

> crossprod(a, b) # is the same with dot product [,1] [1,] 56 >

> t(a) %*% b # is the same with dot product
     [,1]
[1,]   56

 




(5) 오른손 법칙 (Right-handed triple), 오른손 직교좌표계 (Right-handed Cartesian coordinate system)


a와 b 두 벡터의 외적이 벡터 a와 b에 직교 (right angle)하는 외적 v 벡터의 방향을 알 수 있는 방법으로 오른손 좌표계(Right-handed Cartesian coordinate system)을 사용합니다.  오른손의 엄지가 벡터 a, 오른손의 검지가 벡터 b, 그리고 오른손의 중지를 엄지와 검지랑은 수직이 되게 폈을 때가 외적 벡터 v 가 되겠습니다.  아래 그림을 참고하시지요. (제 손 사진이예요. ㅎㅎ)



오른손 법칙은 오른손 나사를 연상해도 되는데요, 벡터 a를 벡터 b의 방향으로 각도 θ만큼 회전시켰을 때 오른손 나사가 나아가는 방향과 같은 방향이 외적 v의 방향이 되겠습니다. 

 

왼손 좌표계도 있는데요, 오른손 좌표계와는 중지의 방향이 반대가 된다는 점만 다릅니다.




(6) 길이와 싸인함수를 이용한 외적 구하기 (outer product calculation with length and sine function)


내적(inner product)을 계산할 때는 길이(length)와 코사인(cosine)을 사용해서 구하는데요, 외적(outer product)은 벡터의 길이(length)와 싸인(sine) 함수를 이용해서 구할 수 있습니다.  (증명은 생략합니다)





(7) 두 벡터로 이루어진 평형사변형의 넓이 계산 (calculation of the area of the parallelogram spanned by vector a and b


두 벡터 a와 b의 외적은 두 벡터로 이루어진 평행사변형의 넓이와 같다고 하였습니다.  두 벡터 a와 b로 이루어진 평행사변형의 넓이를 구해보면 (6)번에서 제시한 두 벡터의 외적 공식과 일치함을 알 수 있습니다.  두 벡터로 이루어진 평행사변형의 넓이를 구하고 싶으면 두 벡터의 외적을 구하면 되겠습니다.







(8) 외적의 성질 (properties of outer product)


외적은 내적과 같은 성질도 있고 다른 성질도 있습니다.  임의의 실수와의 곱은 순서에 상관없이 모두 동일하다는 점과 분배법칙(distributive law)을 만족한다는 점은 내적과 외적이 동일합니다.  반면에 내적은 교환법칙(commutative law)이 성립하지만, 외적은 교환법칙을 성립하지 않는다(anti-commutative) 점에서 차이가 있습니다.  그리고 외적은 결합법칙도 일반적으로 성립하지 않는다(not associative)는 점 때문에 괄호를 생략하면 안됩니다. 내적은 결과가 scalar 이지만 외적은 결과가 vector이므로 서로 다른 성질을 가지게 되는 것입니다.  






(9) 외적의 최대, 최소 (max, min of outer product)


(6)번에서 외적을 구하는 공식이 v = |a|*|b|*sin(θ)n 이라고 하였는데요, 이 공식에서 두 벡터가 수직(angle between a and b = 90 degree)일 때 외적이 최대(outer product is max), 두 벡터가 평행일 때(angle between a and b = 0 degree) 외적이 최소(outer product is min)임을 유추할 수 있습니다.



많은 도움 되었기를 바랍니다.


행렬, 벡터 관련 포스팅은 아래 링크를 걸어놓았습니다.

 

행렬 기본 이해

특수한 형태의 행렬

가우스 소거법을 활용한 역행렬 계산

행렬의 기본 연산 (+, -, *, /, ^, %*%, colMeans(), rowMeans(), colSums(), rowSums()) 

벡터의 기본 이해와 연산 (vector: addition, subtraction, multiplication by scalar)

벡터의 곱 (1) 내적 (inner product, dot product, scalar product, projection product)

 

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지난번 포스팅에서는 벡터의 기본 개념과 벡터의 합, 차, 스칼라배에 대해서 알아보았습니다.


이번 포스팅에서는 2가지의 벡터의 곱중에서 먼저 내적(inner product, dot product, scalar product,  projection product)을 소개하고, 다음번 포스팅에서 외적(outer product, cross product, vector product, directed area product)에 대해서 다루도록 하겠습니다.



[ 벡터 곱 2가지 종류 (2 types of Vector Multiplication) ]



내적(inner product, dot product)과 외적(outer product, cross product)을 비교해보면 아래 표와 같은데요, 처음에 보면 무슨 뜻인가 이해가 안갈 수도 있겠습니다. 내적과 외적의 설명을 다 읽어보시고 마지막으로 종합해서 다시 한번 정리하는데 활용하면 좋겠습니다.



[ 벡터의 내적과 외적 비교 ]

(comparison between inner(or dot) product and outer(or cross) product of vector)






이제 내적(inner product)에 대해서 하나씩 설명해보도록 하겠습니다.



(1) 내적의 표기 (notation and symbol of the inner product)


두 벡터의 내적(inner product)은 아래 그림처럼 「.」(dot)으로 표기하며, 이래서 점곱(dot product)이라고도 말합니다.  혹은 (a, b)와 같이 표기하기도 합니다.  결과값이 스칼라이기 때문에 스칼라곱(scalar product)이라고도 하며, 계산할 때 한쪽 벡터의 코사인값을 사용하기 때문에 (즉, 한쪽 벡터에 직사광선을 쪼였을 때 그 그림자에 해당하는 코사인값을 사용) 영사곱(projection product)이라고도 말합니다.


똑같은 개념을 두고 왜 이리 표현하는 말들이 많은지 의아할 수도 있겠는데요, 대수학, 기하학, 물리학 등의 학문영역별로 명칭, 표기가 다르다는 정도만 이해하면 되겠습니다.  최적화에서도 민감도분석할 때 보면 수학자는 쌍대변수(dual variable)이라고 말하는데 경제학자들은 잠재가격(shadow price)라고 말하거든요.  헛갈리는데 다 같은 말입니다. ^^;







(2) 내적의 정의 (difinition of the inner product)


R^n 내의 두 열 벡터 a, b에 대하여 곱 T(a)b 의 결과인 단일 성분을 갖는 1 * 1 행렬, 즉 하나의 실수인 Scalar 가 내적(inner product)이 되겠습니다.  그 수식을 풀어써보면 아래와 같은 계산식이 되며, 그 output은 스칼라(Scalar)가 됩니다. 


참고로, 외적(outer product)은 output이 벡터(Vector)가 됩니다. 




아래에 두개의 성분(2차원, 2 dimension)을 가지는 열벡터 a=(-5, 6), b=(3, 9)의 내적 예와 세 개의 성분(3차원, 3 dimensions)을 가지는 열벡터 c=(5, 3, 6), d=(2, 7, 4)에 대한 내적 계산을 소개하였습니다.  같은 행의 component끼리 각각 곱해서 모두 더하면 됩니다.







위의 2개의 문제를 R의 '%*%' 함수를 사용해서 풀어보면 아래와 같습니다. 

위에서 소개한 공식을 가지고 아래에 사용자정의 함수도 한번 만들어봤습니다.  R에 내적계산을 위한 함수로 '%*%'가 있기 때문에 굳이 사용자정의함수를 사용할 필요는 없겠습니다만, 개념을 이해하는 차원에서 참고하시기 바랍니다.



> ##--------------------------------------
> ## multiplying a vector by a vector
> ##--------------------------------------
> 
> 
> ##---------
> ## (1) dot product
> 
> ## vector with 2 components (dimensions)
> a <- c(-5, 6)
> b <- c(3, 9)
> 
> # dot product of vector with 2 components (dimensions) : (a) %*%
> a %*% b
     [,1]
[1,]   39
> 
> 
> # dot product of vector with 2 components : (b) user defined function
> dot_prod_fun_v2 <- function(a, b) {
+   if(length(a)!=2 | length(b) !=2) stop('number of vector component is not 2')
+   d <- a[1]*b[1] + a[2]*b[2]
+   return(d)
+ }
> 
> dot_prod_fun_v2(a=a, b=b)
[1] 39
> 
> 
> 
> ## vector with 3 components (dimensions)
> c <- c(5, 3, 6)
> d <- c(2, 7, 4)
> 
> # dot product of vector with 3 components (dimensions) : (a) %*%
> c %*% d
     [,1]
[1,]   55
> 
> 
> # dot prduct of vector with 3 components : (b) user defined function
> dot_prod_fun_v3 <- function(c, d) {
+   if(length(c)!=3 | length(d) !=3) stop('number of vector component is not 3')
+   dot_prd <- c[1]*d[1] + c[2]*d[2] + c[3]*d[3]
+   return(dot_prd)
+ }
> dot_prod_fun_v3(c=c, d=d)
[1] 55
 




(3) 내적의 성질 (properties of the inner product)


수학자들이 정의하는 실내적공간(real inner product space, or real pre-Hilbert space)의 정의와 공리는 아래와 같습니다.  실내적의 공리로 교환법칙(commutative law), 임의의 실수 c곱의 자유로운 이동 가능, 분배법칙(distributive law) 등의 공리도 아래에 소개하였습니다.





(4) 내적의 계산 원리, 방법 1 (1st formula of the inner product calculation)


내적을 계산하는 원리, 방법중에 벡터를 성분분해해서 각 성분들의 벡터의 길이(length of vector, norm)를 가지고 곱한 후 더하는 방법으로 구하는 방법이 있습니다.  아래 그림에 벡터 a를 ax, ay로, 벡터 b를 bx, by로 분해한 후에 내적을 구하는 방법을 소개해 보겠습니다. 힘과 방향을 가지는 벡터를 분해할 수 있다는 것은 벡터 연산을 할 때 굉장히 중요한 개념입니다. 참고로, 벡터와 스칼라를 곱했을 때도 분해한 벡터 성분에 스칼라를 각각 구해서 구하게 됩니다.






(5) 내적의 계산 원리, 방법 2 (2nd formula of the inner product calculation)


내적을 계산하는 또 한가지 방법은 벡터의 힘의 크기 또는 길이(magnitude or length of vector, norm)와 각도(angle between vector a and b)를 이용하는 방법입니다.  벡터의 힘의 크기 또는 길이는 "norm" 이라고도 불립니다.  두 개중 한개의 벡터에 빛을 비추었을 때 직각으로 생기는 그림자 (=vector a * cosine(θ))에다가 나머지 다른 한개의 벡터를 곱하는 개념입니다.





위의 내적 구하는 공식에 cos(θ)가 사용이 되었는데요, 참고로 직각삼각형 ABC의 삼각함수(trigonometric functions) sine, cosine, tangent 구하는 공식은 아래와 같습니다. 





참고로 벡터의 힘의 크기 또는 길이(magnitude or length of vector), 또는 다른 말로 "norm" |a|, |b|를 구하는 방법은 아래와 같습니다. 





(6) 내적을 활용한 두 벡터의 각도 계산 (calculating the angle between vector a and b)


위에서 소개한 두 벡터의 내적을 구하는 공식을 사용하면 벡터의 길이(length of vector)를 구하거나 혹은 두 벡터간 각도(angle between vector a and b)를 구할 수 있습니다.  왜 내적을 공부해야 하지, 내적을 어디에 써먹을 수 있지 궁금하셨을 것 같은데요, 위에서 예로 들었던 두 벡터 a=(-5, 6), b=(3, 9)의 각도를 내적을 활용해서 구해보도록 하겠습니다.



참고로, 위 계산 절차의 제일 마지막에 cos^-1(0.526354)*57.3 을 했는데요, inverse(cos(0.526354))를 통해서 계산된 값이 degree 가 아니라 radian 이기 때문에 1 radian 은 약 57.3 이므로 이를 곱해준 것입니다.  degree는 우리가 일반적으로 사용하는 것처럼 원을 0~360도 표기하는 방법이구요, radian은 부채꼴의 호의 길이와 반지름의 길이가 같게 되는 각도를 1 radian이라고 합니다.
180 degree = π radian 이며, 1 radian = 180 degree/ π = 57.3 입니다.

이를 R을 사용해서 계산해보면 아래와 같습니다.  사용자정의함수로 작성했습니다. 참고로, 함수 acos()는 cos()의 inverse 함수입니다.

> # angle between vector a and b
> a <- c(-5, 6)
> b <- c(3, 9)
> 
> angle_theta <- function(a, b){
+   dot.prod <- a%*%b 
+   norm.a <- norm(a, type="2")
+   norm.b <- norm(b, type="2")
+   theta_radian <- acos(dot.prod / (norm.a * norm.b))
+   angle_theta <- 57.3*theta_radian
+   as.numeric(angle_theta)
+   
+   return(angle_theta)
+ }
> 
> angle_theta(a, b)
         [,1]
[1,] 58.24481

 



위의 예에서는 이해를 돕기 위해서 2차원 (구성요소가 2개) 벡터 a, b를 가지고만 설명을 했는데요, 내적은 실벡터공간 내 3차원, 4차원, ..., n차원 벡터 모두에 대해서 가능합니다.  반면 외적은 3차원 유클리디안 공간에서만 가능합니다.


다음 번에는 벡터의 곱 두번째로 외적 (outer product, cross product, vector product, tensor product) 에 대해서 소개하도록 하겠습니다.

많은 도움되었기를 바랍니다.

행렬, 벡터 관련 포스팅은 아래 링크를 걸어놓았습니다.

 

행렬 기본 이해

특수한 형태의 행렬

가우스 소거법을 활용한 역행렬 계산

행렬의 기본 연산 (+, -, *, /, ^, %*%, colMeans(), rowMeans(), colSums(), rowSums()) 

벡터의 기본 이해와 연산 (vector: addition, subtraction, multiplication by scalar)

벡터의 곱 (2) 외적 (outer product, cross product, vector product, tensor product)

 

이번 포스팅이 도움이 되었다면 아래의 공감 ♡ 꾸욱~ 눌러주세요. ^^

 





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