지난번 포스팅에서는 

 - 시계열의 구성 요인 (time series component factors) (https://rfriend.tistory.com/509)과 

 - 시계열 분해 (time series decomposition) (https://rfriend.tistory.com/510

에 대해서 소개하였습니다. 


이번 포스팅에서는 직관적이어서 이해하기 쉽고 (ARIMA 대비 상대적으로요), 또 시계열 자료의 구성요소가 변동이 느리거나 매우 규칙적(periodic)일 때 예측 정확도도 높아서 시계열 자료 예측에 실무적으로 많이 사용하는 지수 평활법 (exponential smoothing) 에 대해서 소개하겠습니다. 


지수 평활법의 기본 개념은 "최근 관측한 값에 높은 가중치를 주고, 먼 과거의 관측치에는 낮은 관측치를 주어 가중 평균값을 구한는 것" 입니다. 이때 가중치는 현재로 부터 과거로 갈 수록 지수적으로 감소(exponential decay)시켜서 차등적으로 주는 평활 함수(smoothing function)을 사용하는 것에서 "지수(exponential)" 이름을 따왔습니다. 그리고 여러개의 관측치를 모아서 가중 평균을 사용하기 때문에 "평활(smoothing)"되는 효과가 있어서, 이 둘을 합쳐서 "지수 평활법(exponential smoothing)"이라고 하는 것입니다. 


이전 Python 으로 차수 m인 단순이동평균(simple moving average) 구하는 방법을 포스팅한적이 있는데요, 단순이동평균은 가중치가 1/m 로 모두 같은 형태인 (m차 관측치만 이동해서 고려하는) 지수 평활법의 특수한 경우로 볼 수도 있겠습니다. 


지수 평활법의 기법을 결정하는데는 시도표 (time series plot)를 그려보고 아래의 3가지를 고려합니다. 



[ 시계열 특성에 따른 지수평활법 기법 결정 ]


(1) 시계열 자료에 추세(Trend)가 있는지, 추세가 있다면 1차 선형인지 아니면 비선형 인가? 

    - 추세 없음 (No Trend)                  --> Simple Exponential Smoothing

    - 1차 선형 추세 (Linear Trend)         --> Two Parameter Exponential Smoothing

    - 2차 비선형 추세 (Quadratic Trend) --> Three Parameter Smoothing


(2) 시계열 자료에 계절성(Seasonality)이 있는가? 

    - 계절성 없음 (No Seasonality)

    - 계정성 있음 (with Seasonality)  --> Winters' Method


(3) 시계열 자료의 계절성이 시간이 지남에 따라 고정(fixed)되어 있는지 아니면 확산(increasing)되는가? 

    - 고정(상수) 계절 변동 (fixed seasonal variation) --> Additive Model

    - 확산 계절 변동 (increasing seasonal variation)  --> Multiplicative Model



위의 설명을 각 시계열 자료 패턴별로 시도표 예시와 함께 decision tree 형태로 구분해서 지수 평활법 (exponential smoothing) 기법을 짝지어보면 아래와 같습니다. 



물론 위와 같이 분석가가 눈으로 시도표를 보고 나서 적합한 지수 평활법 기법을 선택하는 것이 아니라, 분석 시스템 성능이 뒷받침이 되고 분석 시간이 오래 소요되어도 문제가 없다면, 혹은 사람 개입 없이 자동화를 하고자 한다면 모든 지수 평활법 기법을 적용해보고 이들 모델 긴 적합도 평가 통계량(가령, RMSE, MAPE, MAE 등)을 비교해 본 후 적합이 가장 잘 된 것을 선택할 수도 있겠습니다.



[ 지수 평활법 기법 별 수식 ]


를 지수 평활법으로 예측하고자 하는 t 시점의 시계열 값이라고 하고, 를 t 시점의 계절 요소값, 를 t 시점에서의 오차라고 했을 때, 각 지수평활법 기법별로 모형의 수식을 표기해보면 아래와 같습니다. 지수평활법 기법 간 수식을 비교해보면 좀더 잘 이해할 수 있을 것입니다. 


  • 추세와 계절성이 모두 없는 단순 지수 평활법
    (Simple Exponential Smoothing)



  • 추세는 없고 고정계절변동이 있는 가법 윈터스 방법
     (Additive Winters' Method Exponential Smoothing with No Trend)



  • 추세는 없고 승법 윈터스 방법
    (Multiplicative Winters' Method Exponential Smoothing with No Trend)



  • 1차 선형 추세는 있고 계절성은 없이중 지수 평활법
    (Two Parameter Exponential Smoothing)



  • 1차 선형 추세와 고정계절변동이 있는 가법 윈터스 지수 평활법
    (Additive Winters' Method Exponential Smoothing with Linear Trend)



  • 1차 선형 추세와 확산계절변동이 있는 승법 원터스 지수 평활법
    (Multiplicative Winters' Method Exponential Smoothing with Linear Trend)



  • 2차 비선형 추세는 있고 계절성은 없는 삼중 지수 평활법
    (Three Parameter Exponential Smoothing)



  • 2차 비선형 추세와 고정계절변동이 있는 가법 윈터스 지수 평활법
    (Additive Winters' Method Exponential Smoothing with Quadratic Trend)



  • 2차 비선형 추세와 확산계절변동이 있는 승법 윈터스 지수 평활법
    (Multiplicative Winters' Method Exponential Smoothing with Quadratic Trend)

    : 


다음번 포스팅에서는 Python과 R로 단순 지수 평활법으로 시계열 자료를 예측하는 방법을 소개하겠습니다. 


많은 도움이 되었기를 바랍니다. 

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Posted by R Friend R_Friend

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