지난 포스팅에서는 지도학습(Supervised Learning)에 있어서

  - 과적합(Over-fitting)이란 무엇인가?

  - 과적합을 파악하고 피하기 위한 방법은? (How to avoid over-fitting?)


에 대하여 알아보았습니다.

 

이번 포스팅에서는 과적합 이야기 세번째로, Bias-Variance Trade-off, 다른 말로는 Bias-Variance Delimma 에 대해서 소개하도록 하겠습니다.  지난번 소개한 과적합에 나왔던 내용과 핵심은 똑같은데요, Bias와 Variance 용어와 수식을 사용해서 과적합(Over-fitting), 과소적합(Under-fitting)을 다른 view로 풀어보겠습니다.  학습(Training)과 과적합(Over-fitting)에 대해서 정확히 이해하는 것이 매우 매우 중요하므로 이번에 한번 더 복습하는 셈 치면 좋겠습니다.


 

먼저, Wikipedia에서 정의하고 있는 Bias와 Variance의 뜻부터 살펴보겠습니다.

 

  • Bias : Bias는 학습 알고리즘에서 잘못된 가정으로 부터 나오는 에러이다.  높은 bias는 학습 알고리즘이 설명변수(독립변수)와 목표변수(종속변수) 간의 연관성있는 관계를 놓치게 한다.
    ("The bias is error from erroneous assumptions in the learning algorithm. High bias can cause an algorithm to miss the relevant relations between features and target outputs (underfitting).")
  • Variance : Variance는 훈련 데이터 내의 작은 변동에 대한 민감성으로부터 나오는 에러이다. 높은 variance는 의도한(일반화) 학습결과를 내기보다는 훈련 데이터 내의 무작위 소음을 모델링함에 따라 과적합을 야기한다.
    ("The variance is error from sensitivity to small fluctuations in the training set. High variance can cause overfitting: modeling the random noise in the training data, rather than the intended outputs.")

    - From : Wikipedia

 

 

Wikipedia 설명 내용이 좀 어려울 수도 있는데요, 아래 그림을 참고하시면 이해하는데 도움이 될 것 같습니다.

 

Bias는 쉽게 말하면 Truth 값으로 부터 평균이 얼마나 떨어져 있느냐는 척도입니다.  아래 예시 그림에서, Truth 평균으로 부터 Observed 평균이 가까운 (1)번과 (3)번은 Bias가 작고, 평균의 거리가 먼 (2)번과 (4)번은 Bias가 큽니다.

 

Variance는 통계학에서 말하는 '분산', 그 분산입니다.  편차 제곱의 합을 자유도로 나누어준 값이요. (= 표준편차(standard deviation)을 제곱한 값).  아래 그림 예시에서, 퍼진 정도가 좁은 (1)번과 (2)번은 variance가 작고, 퍼진 정도(산포)가 큰 (3)번과 (4)번은 variance가 큽니다.  

 

 

 

군대 다녀오신 분들은 신병교육대랑 자대 배치 후 첫 사격에서 '영점 사격'을 했을 텐데요, '영점 사격' 할 때는 Bias보다 Variance가 중요합니다.  Variance가 작아야지 가늠쇠를 조절해서 Bias를 줄일 수 있거든요.  Bias가 작아도 Variance가 크다면 그건 스나이퍼 기질이 없다는 거고(영점조정을 할 수 없으므로 대책이 없음 -_-;), PRI(피터지고, 알통배고, 이갈리는....) 얼차레 꾀나 받았을 거라고 필자는 감히 예상해봅니다.  (여담으로, 필자는 군대 시절 '스나이퍼' 소리 들었음 ^^v)

 

 

통계학 시간에 정규분포(Normal Distribution)에 대해서 배우셨을 텐데요, 위의 그림에서 소개한 (1) Bias : Low,  Variance : Low,  (2) Bias : High,  Variance : Low,  (3) Bias : Low,  Variance : High, (4) Bias : High,  Variance : High 의 4개 유형을 정규분포 확률밀도함수 그래프로 그려보면 아래와 같습니다.

 

 

 

 

Bias, Variance에 대해서 이제 이해하셨으리라 믿고요, Bias-Variance Trade-off 로 넘어가보겠습니다.

Bias-Variance Trade-off 란

 - Bias를 작게 하려면 Variance가 높아지고 (아래 그림의 오른쪽 Over-fitting 상황),

 - Variance를 작게 하려면 Bias가 커지는 (아래 그림의 왼쪽 Under-fitting 상황)

Delimma 를 말합니다. 

 

즉, Bias와 Variance를 동시에 작게 하기가 불가능하다는 뜻입니다. 

 

Bias 를 작게(Bias : Low) 한다고 계속 Training을 시키면 데이터 셋에 있는 Noise까지 통째로 암기를 해버리는 과적합(over-fitting)에 빠져서, 즉 온갖 x변수를 죄다 가져다 써서 유연성을 높이는 대신에 모델 복잡도를 확 높여버려서, 새로운 데이터에 모델을 적용시키면 제대로 예측이나 분류를 못하고 틀리게(variance : high) 됩니다.

 

 

 

이런 딜레마 상황에서 우리는 Bias를 작게 하는 데 몰빵을 한다거나 (Over-fitting), 혹은 Variance를 작게 하는데 몰빵(Under-fitting)할 수는 없는 법이고, 결국은 Bias와 Variance의 적절한 균형점(위 그림의 optimum model complexity, ie, sweet zone)을 찾게 됩니다. 

 

어떻게 찾느냐구요?  지난번 포스팅에서 소개한 Cross-validation 기법을 사용합니다.  데이터 셋을 Training set, Validation set, Test set으로 나누어서 -> Training set으로 훈련시켜 모형을 만들고 (iteration....) --> Validation set을 사용해서 over-fitting 시작하는 지점을 탐지해서 적정 시점에 훈련을 중지시킨 후에 (Over-fitting 방지) --> Test set으로 최종 모델의 성능을 평가합니다.

 

 

위의 그림, 그래프로 직관적으로 이해할 수 있도록 설명하였다면, 좀 어렵더라도 통계 수식으로 풀어보면 아래와 같습니다.  'Variance of the fit'과 (Bias of the fit)^2 은 trade-off 관계에 있으므로, 둘 모두를 동시에 작게 할 수는 없습니다.

 

 

 

[Reference]  “The Bias-Variance Tradeoff ,Cross-Validation and Over-fitting in Prediction”, 
               Professor. George S. Easton

 

 

과적합을 피하는데 샘플을 많이 확보한다거나, 독립변수의 수를 줄이는 것 또한 도움이 됩니다.  나중에 (회귀분석 포스팅 후반부에) 변수 선택기법으로 LASSO (The Least Absolute Shrinkage and Selection Operator) 소개하면서 Bias, Variance 개념 사용하니 잘 알아두시면 좋겠습니다.

 

 

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  1. 가을하늘 2016.06.08 09:29  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    좋은 정보 잘보고 갑니다

  2. 커피한잔 2016.06.08 15:25  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    좋은 정보 잘보고 갑니다

  3. 커피한잔 2016.06.11 20:16  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    좋은 정보 잘보고 갑니다

  4. 1465913417 2016.06.14 23:10  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    좋은 정보 잘보고 갑니다

  5. kjh 2016.08.25 15:10  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    좋은자료 감사합니다

일변량 연속형 자료에 대해 기술통계량(descriptive statistics)을 이용한 자료의 요약과 정리는 크게

 

- (1) 중심화 경향 (central tendency)

  : 산술평균, 중앙값, 최빈값, 기하평균, CAGR, 조화평균, 가중평균

 

- (2) 퍼짐 정도 (dispersion)

  : 분산, 표준편차, 변이계수, 범위, IQR, 백분위수

 

- (3) 분포형태와 대칭정도 (distribution)

  : 왜도, 첨도, 분위수-분위수 

 

의 3가지로 구분할 수 있습니다.

 

지난 포스팅에서는 중심화 경향에 대해서 알아보았는데요, 이것만 가지고는 자료의 특성을 파악했다고 보기 어려우며, 이와 더불어 자료가 중심으로 부터 얼마나 퍼져있는지, 분포는 어떤 형태인지를 같이 알아야만 합니다. 

 

아래 3-1반과 3-2반의 수학 점수를 보면 두 학급 모두 평균은 62점으로 같습니다만, 표준편차는 27점 vs. 5.7점으로 매우 다름을 알 수 있습니다.  3-1반은 최우등생과 최열등생이 모여있는 반이고, 3-2반은 비슷한 실력의 중급 학생들이 모여있는 반이라고 하겠습니다.  왜 평균만 보면 안되는지 아셨을 겁니다.

 

학급 (class)

수학 점수 (math score)

평균 (mean)

표준편차(sd)

 3학년 1반

25, 55, 60, 70, 100

62

27.06 

 3학년 2반

55, 60, 60, 65, 70

62

5.70 

 

 

 

이번 포스팅에서는 일변량 연속형 자료의 (2) 퍼짐 정도 (dispersion)에 대해 통계 이론과 활용 상의 주의점을 알아보고, R 함수를 가지고 예를 들어보겠습니다. 

 

 

[ 산술통계량(descriptive statistics)과 R function ]

 

 산술통계

 통계량 (statistics)

R function 

 중심화 경향

(central

tendency)

 산술평균 (arithmetic mean)

 mean()

 중앙값 (median)  median()
 최빈값 (mode)

 which.max(table())

 기하평균 (geometric mean)

 prod(x)^(1/n)1/mean(1/x)

where, n = length(x)

 연평균성장률 (CAGR

 : Componded Average Growth Rate)

 (FV/IV)^(1/n)-1

where, IV : initial value of an investment
          FV : final value  of an investment
          n : investment periods

 조화평균 (harmonic mean)

 1/mean(1/x)

 가중평균 (weighted average)

 weighted.mean()

 퍼짐 정도

(dispersion)

 분산 (variance)

 var()

 표준편차 (standard deviation)  sd()

 변이계수 (coefficient of variation)

 100*sd(x)/mean(x)

 범위 (range)

 diff(range())

 IQR (Inter Quartile Range)

 IQR()

 최소값 (min)

 min()

 최대값 (max)

 max()
 백분위수(percentile)

 quantile(x, probs=c(,,,,))

 분포형태와

대칭정도

(distribution)

 왜도 (skewness)

 skewness(), fBasics package

 첨도 (kurtosis)

 kurtosis(), fBasics package

 분위수-분위수(Quantile-Quantile)

 qqnorm(), qqline(), qqplot()

 

※ 중심화 경향, 퍼짐 정도, 분포형태와 대칭정도의 통계량을 함께 봐야함

※ 통계량과 함께 그래프를 함께 봐야함

 

 

R 실습에는 MASS 패키지 내 Cars93 데이터의 차종(Type), 가격(Price) 변수를 활용하겠습니다. 

 

> library(MASS)
> str(Cars93)
'data.frame':	93 obs. of  27 variables:
 $ Manufacturer      : Factor w/ 32 levels "Acura","Audi",..: 1 1 2 2 3 4 4 4 4 5 ...
 $ Model             : Factor w/ 93 levels "100","190E","240",..: 49 56 9 1 6 24 54 74 73 35 ...
 $ Type              : Factor w/ 6 levels "Compact","Large",..: 4 3 1 3 3 3 2 2 3 2 ...
 $ Min.Price         : num  12.9 29.2 25.9 30.8 23.7 14.2 19.9 22.6 26.3 33 ...
 $ Price             : num  15.9 33.9 29.1 37.7 30 15.7 20.8 23.7 26.3 34.7 ...
 $ Max.Price         : num  18.8 38.7 32.3 44.6 36.2 17.3 21.7 24.9 26.3 36.3 ...
 $ MPG.city          : int  25 18 20 19 22 22 19 16 19 16 ...
 $ MPG.highway       : int  31 25 26 26 30 31 28 25 27 25 ...
 $ AirBags           : Factor w/ 3 levels "Driver & Passenger",..: 3 1 2 1 2 2 2 2 2 2 ...
 $ DriveTrain        : Factor w/ 3 levels "4WD","Front",..: 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 ...
 $ Cylinders         : Factor w/ 6 levels "3","4","5","6",..: 2 4 4 4 2 2 4 4 4 5 ...
 $ EngineSize        : num  1.8 3.2 2.8 2.8 3.5 2.2 3.8 5.7 3.8 4.9 ...
 $ Horsepower        : int  140 200 172 172 208 110 170 180 170 200 ...
 $ RPM               : int  6300 5500 5500 5500 5700 5200 4800 4000 4800 4100 ...
 $ Rev.per.mile      : int  2890 2335 2280 2535 2545 2565 1570 1320 1690 1510 ...
 $ Man.trans.avail   : Factor w/ 2 levels "No","Yes": 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ...
 $ Fuel.tank.capacity: num  13.2 18 16.9 21.1 21.1 16.4 18 23 18.8 18 ...
 $ Passengers        : int  5 5 5 6 4 6 6 6 5 6 ...
 $ Length            : int  177 195 180 193 186 189 200 216 198 206 ...
 $ Wheelbase         : int  102 115 102 106 109 105 111 116 108 114 ...
 $ Width             : int  68 71 67 70 69 69 74 78 73 73 ...
 $ Turn.circle       : int  37 38 37 37 39 41 42 45 41 43 ...
 $ Rear.seat.room    : num  26.5 30 28 31 27 28 30.5 30.5 26.5 35 ...
 $ Luggage.room      : int  11 15 14 17 13 16 17 21 14 18 ...
 $ Weight            : int  2705 3560 3375 3405 3640 2880 3470 4105 3495 3620 ...
 $ Origin            : Factor w/ 2 levels "USA","non-USA": 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ...
 $ Make              : Factor w/ 93 levels "Acura Integra",..: 1 2 4 3 5 6 7 9 8 10 . 

 

 

 

아래의 차종별로 가격 (Price by Type)을 Histogram으로 살펴보면 Midsize 가 좌우로 가장 많이 퍼져있으며, Compact, Large, Sporty 가 그 다음으로 많이 퍼져있고, 마지막으로 Small, Van 이 가장 작게 퍼져있음을 알 수 있습니다.  이걸 아래의 통계량들을 가지고 퍼짐 정도를 측정해 보겠습니다.

 

> # Histogram, Price by Type
> library(MASS) # Cars93 dataset
> library(ggplot2)
> ggplot(Cars93, aes(x=Price)) + 
+   geom_histogram(binwidth=5, fill = "blue", colour = "black") + 
+   ggtitle("Histogram, Price by Type") + 
+   facet_grid(Type ~ .)

 

 

 

 

이제부터 R 함수를 이용해서 퍼짐 정도 (dispersion) 를 파악할 수 있는 통계량을 하나씩 살펴보겠습니다.

 

(1) 분산 (variance) : var()

 

 

분산(variance)은 표준편차(standard deviation)와 함께 가장 일반적으로 사용되는 퍼짐 정도를 나타내는 통계량입니다.  각 관찰값에서 평균을 빼면 평균으로 부터의 거리, 편차(deviation)가 나오는데요, 이걸 모두 합하면 '0'이 됩니다.  따라서 '0'이 되지 않고 퍼진 정도를 알기 위해서 제곱(square)을 하여 합(sum)한 것이고, 관찰값 개수 N으로 나누어서 편차제곱의 평균값으로 퍼진 정도를 측정한 것이 분산(variance)입니다.

 

표본에서 분산을 계산할 때는 편차 제곱합을 관찰값 개수 n에서 1을 뺀 n-1을 사용하여 나누어줍니다.

 

 
> # variance : var()
> 
> var(Cars93$Price)
[1] 93.30458
> 
> with(Cars93, tapply(Price, Type, var))
   Compact      Large    Midsize      Small     Sporty        Van 
 44.714500  40.164000 150.426320   3.815333  63.596099   3.527500

 

 

차종별 가격(Price by Type)의 분산을 구하기 위해 tapply(var, factor, function) 함수를 사용하였습니다.

 

 

 

(2) 표준편차 (standard deviation) : sd()

 

 

표준편차(standard deviation)는 분산(variance)에다가 제곱근(squared root)을 취한 값입니다.   분산(variance)의 경우 편차를 제곱하다 보니 원자료의 scale과는 달라져버리게 되어 해석하는데 좀 곤란한 상황이 벌어집니다.  이 문제를 해결할 수 있는 것이 바로 표준편차입니다.  편차 제곱한 분산에다가 제곱근을 취했기 때문에 원자료와 scale이 동일해지기 때문입니다. 표준편차도 분산과 동일하게 숫자가 커질 수록 중심으로부터 멀리 퍼져있다고 해석하면 되며, 원자료와 scale이 동일하기 때문에 평균에서 (정규분포의 경우) 좌우로 표준편차만큼 퍼져있다고 생각하면 이해하기가 쉽겠습니다.

 

 

 
> # standard deviation : sd()
> 
> sd(Cars93$Price)
[1] 9.65943
> 
> with(Cars93, tapply(Price, Type, sd))
  Compact     Large   Midsize     Small    Sporty       Van 
 6.686890  6.337507 12.264841  1.953288  7.974716  1.878164
 

 

위의 차종별 가격의 표준편차를 보면 위의 histogram과 동일한 결과가 나왔음을 알 수 있습니다.  Midsize가 표준편차가 12.26으로 가장 크고, Van이 1.87로 표준편차가 가장 작게 나왔습니다.

 

 

 

(3) 변이계수 (coefficeint of variation) : 100*sd()/mean()

 

위에서 표준편차(standard deviation)가 scale이 원자료와 같기 때문에 분산(variance)보다는 사용하기에 유용하다고 말했습니다.  하지만 표준편차도 약점이 있는데요, 절대 크기가 현저하게 달라서 평균이 서로 매우 다른 두 집단 간 비교, 측정 단위가 다른 두 변수 간 비교에는 부적합합니다.  이럴 때 퍼짐 정도를 비교 가능하도록 표준화해준 통계량이 변이계수(coeffieicent of variation)이 되겠습니다.  변이계수는 표준편차를 평균으로 나눈 다음에 100을 곱해서 계산합니다.

 

차종별 가격의 변이계수를 구하면 아래와 같은데요, 변이계수가 표준편차와 뭐가 다른가 잘 감이 안잡힐 수도 있겠습니다.

 

 

> # coefficient of variation : sd()/mean()
> 
> with(Cars93, 100*sd(Price)/mean(Price))
[1] 49.51096
> 
> attach(Cars93)
> with(Cars93[Type == c("Compact"),], 100*sd(Price)/mean(Price))
[1] 36.71594
> with(Cars93[Type == c("Large"),], 100*sd(Price)/mean(Price))
[1] 26.08028
> with(Cars93[Type == c("Midsize"),], 100*sd(Price)/mean(Price))
[1] 45.06121
> with(Cars93[Type == c("Small"),], 100*sd(Price)/mean(Price))
[1] 19.21267
> with(Cars93[Type == c("Sporty"),], 100*sd(Price)/mean(Price))
[1] 41.12193
> with(Cars93[Type == c("Van"),], 100*sd(Price)/mean(Price))
[1] 9.833319
> detach(Cars93)
 

 

 

변이계수의 이해를 돕기 위해서 하나의 예를 추가로 들어보겠습니다.

 

A회사와 B회사가 있는데요, 한달 주식가격의 평균과 표준편차가 아래와 같은 때, 표준편차로만 보면 B회사(sd 2,000원)가 A회사(sd 1,000원)의 2배로서 Risk가 더 높다고 생각할 수 있습니다만, 여기에는 함정이 있으며, 이렇게 계산하면 틀립니다.  B회사의 주당 평균 주가(mean 50,000원)는 A회사의 주당 평균주가(mean 10,000원)의 5배에 해당할만큼 큰 차이를 보이고 있습니다. 

 

이럴 경우 급이 다르기 때문에 평균으로 표준편차를 나누어준 비율인 변이계수를 사용해서 동급으로 만들어주고 퍼짐 정도를 비교해야만 합니다. A회사의 변이계수는 10%, B회사의 변이계수는 4%로서 A회사가 B회사보다 Risk가 2.5배 더 높다고 평가할 수 있으며, 앞서의 표준편차와는 정반대의 결과가 나왔음에 유의하시기 바랍니다.

  

 

 

> # example : stock price's mean, sd of company A and company B
> 
> company_A_mean <- c(10000)
> company_A_sd <- c(1000)
> 
> company_B_mean <- c(50000)
> company_B_sd <- c(2000)
> 
> 
> coe_var_A <- 100*company_A_sd/company_A_mean
> coe_var_A
[1] 10
> 
> coe_var_B <- 100*company_B_sd/company_B_mean
> coe_var_B
[1] 4

 

 

 

 

(4) 최소값 (min) : min()

(5) 최대값 (max) : max() 

(6) 범위 (range) : diff(range())

(7) 백분위수 (percentile) : quantile(x, probs=c(,,,,))

(8) IQR (Inter Quartile Range) : IQR()

 

 

 

범위(range)는 최대값에서 최소값을 뺀 값으로, 직관적으로 가장 이해하기 쉬운 퍼짐 정도 통계량입니다. 다만, 특이값(outlier)에 민감하므로 특이값을 제거 후에 사용하거나, 아니면 특이값에 견고한 IQR(Inter Quartile Range) 를 대신 사용할 수 있습니다.

 

p 백분위수(pth percentile)는 자료를 크기 순서대로 정렬해놓았을 때 p%가 자기값 이하(자기값 포함)로 적어도 p%의 관측값이 있고, 자기값 이상으로 적오도 (100-p)%의 관측값이 있는 수를 의미합니다.  Q1, Q2(median), Q3 등은 우리가 자주 사용하는 대표적인 백분위수(percentile)로서, 사분위수(quartile)이라고도 하며 이때 Q1은 25% percentile, Q2는 50% percentile, Q3는 75% percentile이 되겠지요.

 

R로는 함수 한줄로 누워서 떡먹기보다 더 쉬운데요, 이것을 SQL, Hive로 구현하려면 머리가 좀 아프고 코딩을 좀 해야만 합니다. ^^; 

 

자, 그럼 R로 차종별 가격의 Min, Max, 범위, 25% percentile(Q1), 75% percentile(Q3), IQR을 차례대로 구해보겠습니다.

 

 

> ##---------- > # min, max, range, IQR, percentile > attach(Cars93) > > # min : min() > min(Price) [1] 7.4 > tapply(Price, Type, min) Compact Large Midsize Small Sporty Van 11.1 18.4 13.9 7.4 10.0 16.3 > > # max : max() > max(Price) [1] 61.9 > tapply(Price, Type, max) Compact Large Midsize Small Sporty Van 31.9 36.1 61.9 15.9 38.0 22.7 > > # range : diff(range()) > diff(range(Price)) [1] 54.5 > > diff(range(Cars93[Type==c("Compact"),]$Price)) [1] 20.8 > diff(range(Cars93[Type==c("Large"),]$Price)) [1] 17.7 > diff(range(Cars93[Type==c("Midsize"),]$Price)) [1] 48 > diff(range(Cars93[Type==c("Small"),]$Price)) [1] 8.5 > diff(range(Cars93[Type==c("Sporty"),]$Price)) [1] 28 > diff(range(Cars93[Type==c("Van"),]$Price)) [1] 6.4 > > # Percentile : quantile(var, probs=c(,,)) > quantile(Price, c(0.25, 0.75)) 25% 75% 12.2 23.3 > > quantile(Cars93[Type==c("Compact"),]$Price, c(0.25, 0.75)) 25% 75% 13.375 20.675 > quantile(Cars93[Type==c("Large"),]$Price, c(0.25, 0.75)) 25% 75% 20.00 26.95 > quantile(Cars93[Type==c("Midsize"),]$Price, c(0.25, 0.75)) 25% 75% 16.775 34.200 > quantile(Cars93[Type==c("Small"),]$Price, c(0.25, 0.75)) 25% 75% 8.6 11.3 > quantile(Cars93[Type==c("Sporty"),]$Price, c(0.25, 0.75)) 25% 75% 14.175 22.425 > quantile(Cars93[Type==c("Van"),]$Price, c(0.25, 0.75)) 25% 75% 19.0 19.7 > > > # IQR : IQR() > IQR(Price) [1] 11.1 > > IQR(Cars93[Type==c("Compact"),]$Price) [1] 7.3 > IQR(Cars93[Type==c("Large"),]$Price) [1] 6.95 > IQR(Cars93[Type==c("Midsize"),]$Price) [1] 17.425 > IQR(Cars93[Type==c("Small"),]$Price) [1] 2.7 > IQR(Cars93[Type==c("Sporty"),]$Price) [1] 8.25 > IQR(Cars93[Type==c("Van"),]$Price) [1] 0.7 > detach(Cars93)

 

 

 

위의 퍼짐 정도(range, Q1, median, Q3, lower/upper whisker line, outlier) & 중심 경향(mean) 관련 통계량들을 박스 그림(box-and-whisker plot)으로 그리면 아래와 같습니다.

 

> # box plot with mean
> ggplot(Cars93, aes(x = Type, y = Price)) +
+   geom_boxplot(width=0.8, outlier.size=3, outlier.shape=16, outlier.colour="red") +
+   stat_summary(fun.y="mean", geom="point", shape=21, size=3, fill="blue") +
+   ggtitle("Box Plot by Car Type, adding mean") 

 

 

 

 

저 위에도 적어놨지만요, 통계량은 중심화 경향, 퍼짐 정도, 분포형태 및 대칭 정도 통계량을 같이 봐야 하고, 그래프도 같이 봐서 종합적으로 해석하는 것이 정말 중요합니다.

 

중심화 경향과 퍼짐 정도가 다른 두 데이터셋을 표준화하는 방법은 아래의 포스팅을 참고하시기 바랍니다.

 

☞  R 데이터 변환 (1) 표준화 : z 표준화 변환, [0-1] 변환

 

많은 도움 되었기를 바랍니다. 

 

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Posted by R Friend R_Friend

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