2개의 모집단에 대한 평균을 비교, 분석하는 통계적 기법으로 t-Test를 활용하였다면, 비교하고자 하는 집단이 3개 이상일 경우에는 분산분석 (ANOVA : Analysis Of Variance)를 이용합니다.
설명변수는 범주형 자료(categorical data)이어야 하며, 종속변수는 연속형 자료(continuous data) 일 때 3개 이상 집단 간 평균 비교분석에 분산분석(ANOVA) 을 사용하게 됩니다.
분산분석(ANOVA)은 기본적으로 분산의 개념을 이용하여 분석하는 방법으로서, 분산을 계산할 때처럼 편차의 각각의 제곱합을 해당 자유도로 나누어서 얻게 되는 값을 이용하여 수준평균들간의 차이가 존재하는 지를 판단하게 됩니다.
지난번 포스팅에서 이원분산분석(two-way ANOVA) 중에서 (1) 관측값이 하나일 경우 (one observation in each cell)의 이원분산분석 에 대해서 알아보았다면, 이번 포스팅에서는 (2) 관측값이 두개 이상일 경우(more than 2 observations in each cell)의 이원분산분석에 대해서 알아보겠습니다. 단, 이때 각 집단 내 관측값의 개수는 동일합니다.
관측값이 두개 이상일 경우의 이원분산분석에서는 두 개의 요인 수준별 주 효과(main effect)와 더불어 두 요인이 서로 상호간에 영향을 주고 받으면서 나타나는 반응효과인 교호작용 효과(interaction effect)를 추가로 분석하는 것이 관측값이 하나인 경우와의 차이점입니다.
[ 관측값의 개수에 따른 이원분산분석의 분석 대상 ]
요인 A의 i번째 수준과 요인 B의 j번째 수준에서 측정된 k번째 관측값을 Yijk라고 할 때 데이터셋의 형태는 아래와 같습니다.
[ 이원분산분석 - 데이터 형태 ]
(dataset for two-way ANOVA, factor A & B, factor levels a & b, observations k)]
요인 A의 i번째 수준과 요인 B의 j번째 수준에서 측정된 k번째 관측값을 Yijk는 요인 A와 B의 주 효과(main effect)와 함께 두 요인의 교호작용 효과(interaction effect)이 존재하게 되며, 편차 
[ 편차의 4개 성분합으로의 분해 ]
위의 식의 양변을 제곱하여 모든 관측값에 대하여 더한 후에 정리를 하면
|
SST = SSA + SSB + SSAB + SSE |
의 관계식을 얻게 됩니다.
이를 요인과 교호작용별로 제곱합, 자유도, 평균제곱, F통계량을 알기 쉽도록 정리한 이원분산분석표는 아래와 같습니다.
[ 이원분산분석표 (two-way ANOVA table) ]
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요인 |
제곱합 (squared sum) |
자유도 (degrees of freedom) |
평균제곱 (mean squared) |
F statistics |
|
요인 A (factor A) |
SSA |
a-1 |
MSA |
MSA/MSE |
|
요인 B (factor B) |
SSB |
b-1 |
MSB |
MSB/MSE |
|
교호작용 (interaction effect of A, B) |
SSAB |
(a-1)(b-1) |
MSAB |
MSAB/MSE |
|
오차 (error) |
SSE |
ab(n-1) |
MSE |
|
|
계 (total) |
SST |
nab-1 |
|
|
* SST : Total Sum of Squares, SSE : Error Sum of Squares
검정통계량으로는 F 통계량(요인A 효과 검정 = MSA/MSE, 요인B 효과 검정 = MSB/MSE, 교호작용 효과 검정 = MSAB/MSE)을 사용하며, 요인 A의 효과와 요인 B, 교호작용 효과에 대한 검정 절차 및 방법은 아래와 같습니다.
[ 이원분산분석 검정 방법 ]
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(1) 교호작용 효과 (interaction effect) - 귀무가설 H0 : (αβ)ij = 0 - 대립가설 H1 : 모든 (αβ)ij는 0이 아니다 - 검정통계량 : F0 = MSAB/MSE - 판정 : P-value가 유의수준(α)보다 작으면 귀무가설 H0를 기각하고, 대립가설 H1을 채택
(2) 요인 A의 주 효과 (main effect of factor A) - 귀무가설 H0 : α1 = ... = αa = 0 - 대립가설 H1 : 모든 αi 는 0이 아니다 - 검정통계량 : F0 = MSA/MSE - 판정 : P-value가 유의수준(α)보다 작으면 귀무가설 H0를 기각하고, 대립가설 H1을 채택
(3) 요인 B의 주 효과 (main effect of factor B) - 귀무가설 H0 : α1 = ... = αb = 0 - 대립가설 H1 : 모든 αj 는 0이 아니다 - 검정통계량 : F0 = MSB/MSE - 판정 : P-value가 유의수준(α)보다 작으면 귀무가설 H0를 기각하고, 대립가설 H1을 채택
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그럼, 아래 예제에 대해서 R의 aov() 함수를 활용해서 문제를 풀어보도록 하겠습니다.
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(문제) 학급과 성별에 따른 통계학 성적이 아래와 같다고 할 때(각 cell 별 3명의 학생 성적 측정), 유의수준 α = 0.05 에서 학급과 성별 요인의 주효과와 교호작용효과에 대해 검정하시오.
[학급과 성별에 따른 통계학 점수표]
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아래에 요약통계량과 교호작용 여부를 가늠해볼 수 있는 그래프 생성 R 함수도 일부 추가하였습니다. 만약 교호작용효과 그래프(Interaction Effect Plot) 가 서로 교차를 하면 교호작용이 있다고 보면 되며, 서로 평행선을 이룬다면 교호작용이 없다고 해석하면 되겠습니다. (교호작용도는 엑셀로 치면 "꺽은선형 차트"가 되겠습니다)
[ R aov() 함수 사용 방법 ]
> # (2) two-way ANOVA when there are more than one observation per cell (different treatment groups) > # (the number of observations in each cell must be equal) > > gender.fac <- as.factor(c(rep("M", 9), rep("F", 9))) > gender.fac [1] M M M M M M M M M F F F F F F F F F Levels: F M > > class <- c("class_1", "class_1", "class_1", "class_2", "class_2", "class_2", "class_3", "class_3", "class_3") > class.fac <- as.factor(c(rep(class, 2))) > class.fac [1] class_1 class_1 class_1 class_2 class_2 class_2 class_3 class_3 class_3 class_1 class_1 [12] class_1 class_2 class_2 class_2 class_3 class_3 class_3 Levels: class_1 class_2 class_3 > > score_stats <- c(71, 77, 78, 76, 77, 78, 71, 70, 69, 80, 76, 80, 79, 78, 77, 73, 71, 70) > > > # summary statistics > score.df <- data.frame(gender.fac, class.fac, score_stats) > score.df gender.fac class.fac score_stats 1 M class_1 71 2 M class_1 77 3 M class_1 78 4 M class_2 76 5 M class_2 77 6 M class_2 78 7 M class_3 71 8 M class_3 70 9 M class_3 69 10 F class_1 80 11 F class_1 76 12 F class_1 80 13 F class_2 79 14 F class_2 78 15 F class_2 77 16 F class_3 73 17 F class_3 71 18 F class_3 70 > > install.packages("doBy")
> library(doBy) > summaryBy(score_stats ~ gender.fac, data=score.df, FUN = c(mean, sd, min, max)) gender.fac score_stats.mean score_stats.sd score_stats.min score_stats.max 1 F 76.00000 3.807887 70 80 2 M 74.11111 3.756476 69 78 > summaryBy(score_stats ~ class.fac, data=score.df, FUN = c(mean, sd, min, max)) class.fac score_stats.mean score_stats.sd score_stats.min score_stats.max 1 class_1 77.00000 3.346640 71 80 2 class_2 77.50000 1.048809 76 79 3 class_3 70.66667 1.366260 69 73 > summary(score_stats, data=score.df) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 69.00 71.00 76.50 75.06 78.00 80.00 > > # box plot and interaction plot > par(mfrow = c(2, 2)) > plot(score_stats ~ gender.fac, main="box plot by gender") > plot(score_stats ~ class.fac, main="box plot by class") > interaction.plot(gender.fac, class.fac, score_stats, bty='l', main="interaction effect plot") > interaction.plot(class.fac, gender.fac, score_stats, bty='l', main="interaction effect plot") > > > # two-way ANOVA : aov() > # replicates, interaction effect > aov_model = aov(score_stats ~ gender.fac + class.fac + gender.fac:class.fac) > summary(aov_model) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) gender.fac 1 16.06 16.06 3.853 0.073249 . class.fac 2 174.11 87.06 20.893 0.000123 *** gender.fac:class.fac 2 4.78 2.39 0.573 0.578354 Residuals 12 50.00 4.17 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
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R 분석 결과 중에서 제일 아래에 있는 이원분산분석표를 가지고 해석을 해보겠습니다. 먼저 (1) 교호작용이 있는지를 살펴보면, 성별과 학급별에 따른 교호작용효과에 대한 P-value가 0.578354로서 유의수준 α 0.05보다 크므로 귀무가설 H0를 채택하여 "성별과 학급의 교호작용에 의한 효과는 없다"고 판단할 수 있습니다.
두번째로 (2) 성별 요인(factor A levels of "M", "F")에 대한 P-value는 0.073249로서 유의수준 α 0.05 보다 크므로 귀무가설 H0를 채택하게 되어 "성별에 따른 통계학 성적 차이는 없다"고 판단할 수 있습니다.
세번째로 (3) 학급 요인(factor B levels of "class_1", "class_2", "class_3")에 따른 P-value는 0.000123으로서 유의수준 α 0.05보다 작으므로 귀무가설 H0를 기각하고 대립가설 H1을 채택하여 "학급에 따른 통계학 성적의 차이가 있다"고 판단할 수 있습니다.
학급 요인에 대해서는 유의수준 α 0.05에서 차이가 있다고 나왔으므로, 어떤 학급 간에 차이가 있는지를 알아보고 싶다면, 사후 쌍을 이룬 다중 비교 분석(post-hoc pair-wise multiple comparison)을 하면 됩니다. 이에 대한 자세한 설명은 아래의 링크를 참조하시기 바랍니다.
- 쌍을 이룬 집단 간 평균 다중비교 (multiple comparison)
☞ Tukey's HSD(honestly significant difference) test 참조
☞ Duncan's LSR(least significant range) test 참고
- 대비 (contrast)
많은 도움이 되었기를 바랍니다.
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