R (1) 이원분산분석(two-way ANOVA) - 관측값이 하나일 경우

2개의 모집단에 대한 평균을 비교, 분석하는 통계적 기법으로 t-Test를 활용하였다면, 비교하고자 하는 집단이 3개 이상일 경우에는 분산분석 (ANOVA : Analysis Of Variance)를 이용합니다. 

 

설명변수는 범주형 자료(categorical data)이어야 하며, 종속변수는 연속형 자료(continuous data) 일 때 3개 이상 집단 간 평균 비교분석에 분산분석(ANOVA) 을 사용하게 됩니다.

 

분산분석(ANOVA)은 기본적으로 분산의 개념을 이용하여 분석하는 방법으로서, 분산을 계산할 때처럼 편차의 각각의 제곱합을 해당 자유도로 나누어서 얻게 되는 값을 이용하여 수준평균들간의 차이가 존재하는 지를 판단하게 됩니다.  

 

이전 포스팅에서 '일원분산분석(one-way ANOVA)'에 대해서 알아봤는데요, 이번 포스팅에서는 '이원분산분석(two-way ANOVA)'에 대해서 소개하도록 하겠습니다. 

 

 

[ 분산분석(ANOVA)의 분류 ]

 

 

 

일원분산분석(one-way ANOVA)이 1개의 요인(factor) 내의 요인 수준(factor levels)들이 각각의 집단(group)/처리(treatment)이 되어서 이들 집단/처리 간의 평균 차이를 비교하는 것이라면, 이원분산분석(two-way ANOVA)은 2개의 요인(2 factors) 내의 요인 수준(factor levels) 간의 조합(combination)들 각 각을 개별 집단/처리(groups, treamments)로 간주하고 이들간에 평균을 비교하게 됩니다.

 

가령, 요인(factor) A '온도'가 3개의 요인 수준(factor levels, 온도 상, 중, 하)을 가지고 요인(factor) B '압력'이 2개의 요인 수준(factor levels, 압력 강, 약)을 가진다고 할 경우, 총 그룹/처리의 수는 (A.온도) 3 x (B.압력) 2 = 6 개가 됩니다.

 

이원분산분석은 (1) 관측값이 하나일 경우와 (2) 관측값이 2개 이상일 경우 (반복 실험을 할 경우)로 나누어볼 수 있습니다.  비용이나 시간 여건이 허락한다면 분석의 신뢰도를 높이기 위해서는 반복 실험 혹은 관찰을 통해 관측값을 2개 이상 확보하는 것이 좋겠습니다.

 

우선 이번 포스팅에서는 (1) 관측값이 하나일 경우의 이원분산분석(two-way ANOVA when there is one observation in each cell (different treatment groups)) 에 대해서 소개하고, 다음번 포스팅에서 (2) 관측값이 2개 이상일 경우(반복 실험을 할 경우)의 이원분산분석에 대해서 순차적으로 소개하도록 하겠습니다.

 

이원분산분석을 위한 데이터셋의 구조는 아래와 같습니다.

 

 

[ 이원분산분석을 위한 데이터셋 구조 (Dataset for two-way ANOVA) ]

 

 

 

요인 A가 i=1, 2, ..., a 개의 요인 수준(factor levels)을 가지고, 요인 B가 j=1, 2, ..., b 개의 요인 수준(factor levels)을 가진다고 했을 때, A와 B라는 2개의 요인 처리(treatment) 내의 관측값이 하나일 경우의 이원분산분석모형은 편차 (Yij - Y..bar)를 다음과 같이 3개의 성분합으로 나타낼 수 있습니다. 

 

이 식의 양변을 제곱하여 모든 관측값에 대해 더하면 다음과 같은 식을 얻게 됩니다.

 

 

 

관측값이 하나일 경우의 이원분산분석을 실시할 경우 통계패키지에서는 아래와 같은 형태로 정리된 이원분산분석표를 제시하여 줍니다.

 

 

 [ 이원분산분석표 (two-way ANOVA table) ]

 

요인	제곱합 (squared sum)	자유도 (degrees of freedom)	평균제곱 (mean squared)	F statistics
요인 A	SSA	a-1	MSA	MSA/MSE
요인 B	SSB	b-1	MSB	MSB/MSE
오차	SSE	(a-1)(b-1)	MSE
계	SST	ab-1

 

 

검정통계량으로는 F 통계량(요인A 효과 검정 = MSA/MSE, 요인B 효과 검정 = MSB/MSE)을 사용하며, 요인 A의 효과와 요인 B의 효과에 대한 검정 방법은 아래와 같습니다.

 

(1) 요인 A의 효과    - 귀무가설 H0 : α1 = ... = αa = 0    - 대립가설 H1 : 모든 αi 는 0이 아니다    - 검정통계량 : F0 = MSA/MSE    - 판정 : P-value가 유의수준(α)보다 작으면 귀무가설 H0를 기각하고, 대립가설 H1을 채택     (2) 요인 B의 효과    - 귀무가설 H0 : α1 = ... = αb = 0    - 대립가설 H1 : 모든 αj 는 0이 아니다    - 검정통계량 : F0 = MSB/MSE    - 판정 : P-value가 유의수준(α)보다 작으면 귀무가설 H0를 기각하고, 대립가설 H1을 채택

 

 

그럼, 아래 예제에 대해서 R의 aov() 함수를 활용해서 문제를 풀어보도록 하겠습니다.

(예제는 'Excel을 이용한 실용통계분석', 배현웅 저, 교우사, 에서 인용함)

 

 

(문제) K와 M 두 보험회사의 차종 (1,000cc 이하, 1,500cc, 1,800cc)에 따른 분기별 보험료(단위: 천원)가 아래 표와 같다고 할 때 유의수준 α=0.05 로 차종(요인 A)과 회사(요인 B)의 효과에 대한 검정을 하여라.   [ 보험회사와 차종에 따른 보험료 ]                 보험회사  차종 K 회사  M 회사 평균  1,000 cc 이하  140 100 120  1,500 cc  210 180  195  1,800 cc  220 200  210  평균  190 160  175

 

 

> ##-------------------------------------------------------------- > ## two-way ANOVA : aov() > ##-------------------------------------------------------------- > > # (1) two-way ANOVA when there is one observation in each cell (different treatment groups) > > car_type <- rep(c('1000', '1500', '1800'), 2) > car_type <- as.factor(car_type) # transformation into factor > car_type [1] 1000 1500 1800 1000 1500 1800 Levels: 1000 1500 1800 > > insurance <- as.factor(c(rep('K', 3), rep('M', 3))) # transforamtion into factor > insurance [1] K K K M M M Levels: K M > > y <- c(140, 210, 220, 100, 180, 200) > > > # two way ANOVA > two_way_aov_model_1 <- aov(y ~ car_type + insurance) # no replicates, no interaction > > # statistics of two-way ANOVA > summary(two_way_aov_model_1) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) car_type 2 9300 4650 93 0.0106 * insurance 1 1350 1350 27 0.0351 * Residuals 2 100 50 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

 

위의 분석결과를 해석해보면, 먼저 요인A 차종에 따른 분산분석 결과 P-value가 0.0106으로서 유의수준(significance level) 0.05보다 작으므로 우리는 "차종에 따라서 보험료에 차이가 있다"는 대립가설(H1)을 채택할 수 있게 되었습니다.

 

또한, 요인B 보험회사에 따른 분산분석 결과 P-value가 0.0351로서 유의수준(significance level, α) 0.05보다 역시 작으므로 "보험회사에 따라서 보험료에 차이가 있다"는 대립가설(H1)을 채택할 수 있겠습니다.

 

다음번 포스팅에서는 (2) 관측값이 2개 이상일 경우(반복 실험일 경우)의 이원분산분석에 대해서 알아보겠습니다.

 

많은 도움 되었기를 바랍니다.

 

 

일원분산분석 및 사후분석(post-hoc multiple comparison)에 대해서는 아래 링크를 참조하세요.

• 1개 요인(factor)에 대한 3 집단 이상 집단의 평균 비교 (ANOVA)

☞ one-way ANOVA

 

 

• 쌍을 이룬 집단 간 평균 다중비교 (multiple comparison)

☞ Tukey's HSD(honestly significant difference) test 참조

☞ Duncan's LSR(least significant range) test 참고

 

• 대비 (contrast)

☞ 샤페 검정법 (scheffe test) 참고

 

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