이번 포스팅에서는 마지막 네번째 포스팅으로서, 12개의 설명변수를 사용하여 유방암 악성, 양성 여부 진단하는 로지스틱 회귀모형을 훈련 데이터셋으로 적합시켜보고, 테스트셋에 대해 모델 성능을 평가하며, 모델의 회귀계수를 가지고 해석을 해보겠습니다.
[로지스틱 회귀분석을 통한 유방암 예측(분류) 포스팅 순서] |
이번 포스팅은 아래의 순서대로 분석을 진행해보겠습니다.
(탐색적 데이터 분석 및 전처리는 이전 포스팅 참고 => http://rfriend.tistory.com/400)
(1) training set (80%) vs. test set (20%) 분리
(2) 로지스틱 회귀모형 적합 (w/ training set)
(3) 후진 소거법 (backward elimination)
(4) 모델 성능 평가 (w/ test set) : confusion matrix, ROC curve
(5) 모델 해석
(1) training set (80%) vs. test set (20%) 분리 |
569개 관측치를 가진 데이터셋을 (a) 모형 적합에 사용할 훈련용 데이터셋(training set), (b) 모형 성능 평가에 사용할 테스트 데이터셋(test set) 으로 나누어 보겠습니다. 이번 포스팅에서는 training : test 를 8:2 비율로 나누어서 분석하였습니다.
만약 training set으로 훈련한 모델의 정확도는 높은데 test set을 대상으로 한 정확도는 낮다면 과적합(overfitting)을 의심해볼 수 있습니다.
로지스틱 회귀모형을 적합하는데는 나중에 회귀계수 해석하기에 용이하도록 표준화하기 이전의 원래의 데이터를 사용하였으며, training : test = 8:2 로 나누기 위해 base패키지의 sample() 함수를 사용하여 indexing을 위한 무작위 index를 생성해두었습니다.
참고로, 아래 코드의 train, test, Y.test에는 관측치 측정치가 들어있는 것이 아니라 나중에 indexing을 위한 index 정보 (랜덤 샘플링 indexing 할 위치 정보)가 들어 있습니다. 다음번 glm() 함수에서 subset argument에 train, test index를 사용할 예정입니다.
> ##========================= > ## fitting logistic regression > #---------- > > # data set with 12 input variable and Y variable > wdbc_12 <- data.frame(Y, wdbc[,x_names_sorted]) > str(wdbc_12) 'data.frame': 569 obs. of 13 variables: $ Y : num 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... $ concavity_se : num 0.0537 0.0186 0.0383 0.0566 0.0569 ... $ compactness_se : num 0.049 0.0131 0.0401 0.0746 0.0246 ... $ fractal_dimension_worst: num 0.1189 0.089 0.0876 0.173 0.0768 ... $ symmetry_mean : num 0.242 0.181 0.207 0.26 0.181 ... $ smoothness_mean : num 0.1184 0.0847 0.1096 0.1425 0.1003 ... $ concave.points_se : num 0.0159 0.0134 0.0206 0.0187 0.0188 ... $ texture_mean : num 10.4 17.8 21.2 20.4 14.3 ... $ symmetry_worst : num 0.46 0.275 0.361 0.664 0.236 ... $ smoothness_worst : num 0.162 0.124 0.144 0.21 0.137 ... $ perimeter_se : num 8.59 3.4 4.58 3.44 5.44 ... $ area_worst : num 2019 1956 1709 568 1575 ... $ concave.points_mean : num 0.1471 0.0702 0.1279 0.1052 0.1043 ... > > # split train(0.8) and test set(0.2) > set.seed(123) # for reproducibility > train <- sample(1:nrow(wdbc_12), size=0.8*nrow(wdbc_12), replace=F) > test <- (-train) > Y.test <- Y[test]
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(2) 로지스틱 회귀모형 적합 (w/ training set) |
R의 stats 패키지의 glm() 함수로 training set의 12개 설명변수를 모두 사용하여 로지스틱 회귀모형을 적합하여 보겠습니다. 회귀계수 모수 추정은 최대가능도추정(Maximum Likelihood Estimation)법을 통해서 이루어집니다.
참고로, GLM 모형의 family 객체에 들어갈 random components 와 link components 에 사용할 수 있는 arguments 는 아래와 같습니다.
[ Family Objects for Models ] binomial(link = "logit") # logistic regression model poisson(link = "log") # poisson regression model gaussian(link = "identity") # linear regression model Gamma(link = "inverse") # gamma regression model inverse.gaussian(link = "1/mu^2") quasi(link = "identity", variance = "constant") quasibinomial(link = "logit") quasipoisson(link = "log") |
> # train with training set > glm.fit <- glm(Y ~ ., + data = wdbc_12, + family = binomial(link = "logit"), + subset = train) Warning message: glm.fit: 적합된 확률값들이 0 또는 1 입니다 > > summary(glm.fit) Call: glm(formula = Y ~ ., family = binomial(link = "logit"), data = wdbc_12, subset = train) Deviance Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -1.8232 -0.0662 -0.0074 0.0001 3.8847 Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) -36.903201 9.099492 -4.056 0.00005 *** concavity_se 29.311264 22.989079 1.275 0.202306 compactness_se -100.786803 36.755041 -2.742 0.006104 ** fractal_dimension_worst 37.094117 43.007209 0.863 0.388407 symmetry_mean 19.015372 30.163882 0.630 0.528432 smoothness_mean -109.619744 74.382548 -1.474 0.140554 concave.points_se -123.097155 203.980072 -0.603 0.546192 texture_mean 0.393147 0.107909 3.643 0.000269 *** symmetry_worst 13.278414 10.461508 1.269 0.204347 smoothness_worst 105.722805 35.197258 3.004 0.002667 ** perimeter_se 1.033524 0.780904 1.323 0.185670 area_worst 0.013239 0.003786 3.496 0.000472 *** concave.points_mean 104.113327 46.738810 2.228 0.025910 * --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1) Null deviance: 601.380 on 454 degrees of freedom Residual deviance: 60.175 on 442 degrees of freedom AIC: 86.175 Number of Fisher Scoring iterations: 10
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각 회귀계수의 유의성을 Wald-test()를 통해 해보면 'concave.points_se' 변수가 p-value가 0.54192이므로 유의수준 5% 하에서 [귀무가설(H0): 회귀계수 beta(concave.points_se) = 0]을 채택합니다. 즉, 반응변수에 concave.points_se 변수는 별 영향 혹은 관련이 없다고 판단할 수 있습니다. 따라서 제거를 해도 되겠습니다.
Wald Test
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(3) 후진 소거법 (backward elimination) |
위의 (2)번 처럼 전체 변수를 포함한 full model (saturated model)에서 시작해서, 가장 유의미하지 않은 변수(가장 큰 p-value 값을 가지는 변수)를 제거하고, 다시 모형을 적합하고, 남은 예측변수가 모두 유의할 때까지 계속 순차적으로 가장 유의미하지 않은 변수를 계속 제거해나가는 후진 소거법(backward elimination)을 사용해서 모델을 적합하겠습니다. 이로써, 모델의 정확도는 어느정도 유지하면서도 해석하기에 용이한 가장 간소한(parsimonious) 모델을 만들어보겠습니다.
> # Backward Elimination Approach > # remove 'concave.points_se' variable > glm.fit.2 <- glm(Y ~ concave.points_mean + area_worst + + perimeter_se + smoothness_worst + symmetry_worst + + texture_mean + smoothness_mean + symmetry_mean + + fractal_dimension_worst + compactness_se + concavity_se, + data = wdbc_12, + family = binomial(link = "logit"), + subset = train) Warning message: glm.fit: 적합된 확률값들이 0 또는 1 입니다 > > summary(glm.fit.2) Call: glm(formula = Y ~ concave.points_mean + area_worst + perimeter_se + smoothness_worst + symmetry_worst + texture_mean + smoothness_mean + symmetry_mean + fractal_dimension_worst + compactness_se + concavity_se, family = binomial(link = "logit"), data = wdbc_12, subset = train) Deviance Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -1.8363 -0.0645 -0.0076 0.0001 3.8297 Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) -37.182194 8.981711 -4.140 0.0000348 *** concave.points_mean 87.773808 37.117336 2.365 0.018041 * area_worst 0.013785 0.003734 3.692 0.000222 *** perimeter_se 0.894502 0.747623 1.196 0.231517 smoothness_worst 104.169968 35.281001 2.953 0.003151 ** symmetry_worst 15.057387 10.048439 1.498 0.134009 texture_mean 0.385946 0.105254 3.667 0.000246 *** smoothness_mean -103.800173 73.953483 -1.404 0.160442 symmetry_mean 10.952803 26.586484 0.412 0.680362 fractal_dimension_worst 42.376803 42.322307 1.001 0.316688 compactness_se -98.379602 35.688499 -2.757 0.005840 ** concavity_se 18.847381 13.973683 1.349 0.177409 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1) Null deviance: 601.380 on 454 degrees of freedom Residual deviance: 60.551 on 443 degrees of freedom AIC: 84.551 Number of Fisher Scoring iterations: 10 > > # remove 'symmetry_mean' variable > glm.fit.3 <- glm(Y ~ concave.points_mean + area_worst + + perimeter_se + smoothness_worst + symmetry_worst + + texture_mean + smoothness_mean + + fractal_dimension_worst + compactness_se + concavity_se, + data = wdbc_12, + family = binomial(link = "logit"), + subset = train) Warning message: glm.fit: 적합된 확률값들이 0 또는 1 입니다 > > summary(glm.fit.3) Call: glm(formula = Y ~ concave.points_mean + area_worst + perimeter_se + smoothness_worst + symmetry_worst + texture_mean + smoothness_mean + fractal_dimension_worst + compactness_se + concavity_se, family = binomial(link = "logit"), data = wdbc_12, subset = train) Deviance Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -1.7842 -0.0630 -0.0083 0.0001 3.7588 Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) -36.121685 8.504448 -4.247 0.0000216 *** concave.points_mean 89.488263 37.243081 2.403 0.016269 * area_worst 0.013329 0.003532 3.774 0.000161 *** perimeter_se 0.976273 0.722740 1.351 0.176762 smoothness_worst 100.865240 33.783402 2.986 0.002830 ** symmetry_worst 17.885605 7.503047 2.384 0.017136 * texture_mean 0.382870 0.103885 3.686 0.000228 *** smoothness_mean -95.335007 70.234774 -1.357 0.174662 fractal_dimension_worst 40.176580 41.722080 0.963 0.335569 compactness_se -97.950160 35.684347 -2.745 0.006053 ** concavity_se 19.800333 13.655596 1.450 0.147064 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1) Null deviance: 601.380 on 454 degrees of freedom Residual deviance: 60.721 on 444 degrees of freedom AIC: 82.721 Number of Fisher Scoring iterations: 10 > > # remove 'fractal_dimension_worst' variable > glm.fit.4 <- glm(Y ~ concave.points_mean + area_worst + + perimeter_se + smoothness_worst + symmetry_worst + + texture_mean + smoothness_mean + + compactness_se + concavity_se, + data = wdbc_12, + family = binomial(link = "logit"), + subset = train) Warning message: glm.fit: 적합된 확률값들이 0 또는 1 입니다 > > summary(glm.fit.4) Call: glm(formula = Y ~ concave.points_mean + area_worst + perimeter_se + smoothness_worst + symmetry_worst + texture_mean + smoothness_mean + compactness_se + concavity_se, family = binomial(link = "logit"), data = wdbc_12, subset = train) Deviance Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -1.6650 -0.0653 -0.0079 0.0001 3.9170 Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) -33.656002 7.809704 -4.310 0.0000164 *** concave.points_mean 96.137001 36.867939 2.608 0.009118 ** area_worst 0.012905 0.003435 3.757 0.000172 *** perimeter_se 0.676729 0.642490 1.053 0.292208 smoothness_worst 109.530724 32.239695 3.397 0.000680 *** symmetry_worst 19.724732 7.543696 2.615 0.008930 ** texture_mean 0.381544 0.103567 3.684 0.000230 *** smoothness_mean -101.037553 70.839248 -1.426 0.153784 compactness_se -80.383972 30.461425 -2.639 0.008318 ** concavity_se 20.771502 14.372162 1.445 0.148385 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1) Null deviance: 601.380 on 454 degrees of freedom Residual deviance: 61.657 on 445 degrees of freedom AIC: 81.657 Number of Fisher Scoring iterations: 10 > > # remove 'perimeter_se' variable > glm.fit.5 <- glm(Y ~ concave.points_mean + area_worst + smoothness_worst + + symmetry_worst + texture_mean + smoothness_mean + + compactness_se + concavity_se, + data = wdbc_12, + family = binomial(link = "logit"), + subset = train) Warning message: glm.fit: 적합된 확률값들이 0 또는 1 입니다 > > summary(glm.fit.5) Call: glm(formula = Y ~ concave.points_mean + area_worst + smoothness_worst + symmetry_worst + texture_mean + smoothness_mean + compactness_se + concavity_se, family = binomial(link = "logit"), data = wdbc_12, subset = train) Deviance Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -1.7487 -0.0602 -0.0079 0.0002 4.2383 Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) -33.156014 7.674110 -4.321 0.0000156 *** concave.points_mean 98.900172 35.529247 2.784 0.00538 ** area_worst 0.013819 0.003339 4.139 0.0000349 *** smoothness_worst 105.448378 32.444984 3.250 0.00115 ** symmetry_worst 17.412883 6.654537 2.617 0.00888 ** texture_mean 0.385751 0.102180 3.775 0.00016 *** smoothness_mean -89.410469 70.307291 -1.272 0.20348 compactness_se -78.009472 29.946520 -2.605 0.00919 ** concavity_se 24.607453 13.153360 1.871 0.06137 . --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1) Null deviance: 601.380 on 454 degrees of freedom Residual deviance: 62.777 on 446 degrees of freedom AIC: 80.777 Number of Fisher Scoring iterations: 10 > > # remove 'smoothness_mean' variable > glm.fit.6 <- glm(Y ~ concave.points_mean + area_worst + smoothness_worst + + symmetry_worst + texture_mean + + compactness_se + concavity_se, + data = wdbc_12, + family = binomial(link = "logit"), + subset = train) Warning message: glm.fit: 적합된 확률값들이 0 또는 1 입니다 > > summary(glm.fit.6) Call: glm(formula = Y ~ concave.points_mean + area_worst + smoothness_worst + symmetry_worst + texture_mean + compactness_se + concavity_se, family = binomial(link = "logit"), data = wdbc_12, subset = train) Deviance Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -1.8607 -0.0640 -0.0080 0.0002 4.0912 Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) -39.164619 6.748646 -5.803 0.0000000065 *** concave.points_mean 73.504634 27.154772 2.707 0.006792 ** area_worst 0.015465 0.003248 4.762 0.0000019175 *** smoothness_worst 78.962941 23.746808 3.325 0.000884 *** symmetry_worst 17.429475 6.497808 2.682 0.007310 ** texture_mean 0.423250 0.099815 4.240 0.0000223171 *** compactness_se -79.556564 29.747330 -2.674 0.007486 ** concavity_se 27.279384 12.093534 2.256 0.024089 * --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1) Null deviance: 601.380 on 454 degrees of freedom Residual deviance: 64.446 on 447 degrees of freedom AIC: 80.446 Number of Fisher Scoring iterations: 10
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(2)의 12개 설명변수를 사용한 full model에서 시작해서 (3)의 후진소거법(backward elimination)에 의해 5개의 변수를 하나씩 순차적으로 제거하면서 적합한 모형의 결과를 표로 정리하면 아래와 같습니다.
자유도(df) 대비 이탈도(deviance)와의 차이가 거의 없으므로 후진소거법에 의해 변수를 제거해도 모델에는 별 영향이 없음을 알 수 있습니다. 그리고 AIC(= -2(로그가능도 - 모형에 있는 모수 개수)) 기준에 의하면 6번째 모형 (concave.points_se, symmetry_mean, fractal_dimension_worst, perimeter_se, smoothness_mean 제거한 모형)이 가장 우수한 모형임을 알 수 있습니다.(
6번째 모델의 '귀무가설 H0: 모든 회귀계수 = 0 (무가치한 모형)'에 대한 가능도비 검정(likelihood ratio test) 결과,
> # likelihood ratio test > LR_statistic = 601.380 - 64.446 > LR_statistic [1] 536.934 > pchisq(LR_statistic, df = (454-447), lower.tail = F) [1] 9.140339e-112 |
이므로 적어도 하나의 설명변수는 반응변수를 예측하는데 유의미한 관련이 있다고 볼 수 있다.
그리고 각 설명변수별 Wald-test 결과 p-value(Pr(>|z|) 가 모두 0.05보다 작으므로, 유의수준 5% 하에서 모두 유의미하다(즉, 반응변수와 관련이 있다)고 판단할 수 있다.
> summary(glm.fit.6) Call: glm(formula = Y ~ concave.points_mean + area_worst + smoothness_worst + symmetry_worst + texture_mean + compactness_se + concavity_se, family = binomial(link = "logit"), data = wdbc_12, subset = train) Deviance Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -1.8607 -0.0640 -0.0080 0.0002 4.0912 Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) -39.164619 6.748646 -5.803 0.0000000065 *** concave.points_mean 73.504634 27.154772 2.707 0.006792 ** area_worst 0.015465 0.003248 4.762 0.0000019175 *** smoothness_worst 78.962941 23.746808 3.325 0.000884 *** symmetry_worst 17.429475 6.497808 2.682 0.007310 ** texture_mean 0.423250 0.099815 4.240 0.0000223171 *** compactness_se -79.556564 29.747330 -2.674 0.007486 ** concavity_se 27.279384 12.093534 2.256 0.024089 * --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1) Null deviance: 601.380 on 454 degrees of freedom Residual deviance: 64.446 on 447 degrees of freedom AIC: 80.446 Number of Fisher Scoring iterations: 10
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로지스틱 회귀계수의 95% 신뢰구간은 confint() 함수를 통해 구할 수 있습니다.
> confint(glm.fit.6) Waiting for profiling to be done... 2.5 % 97.5 % (Intercept) -5.483332e+01 -27.92705624 concave.points_mean 2.353047e+01 131.95158315 area_worst 9.906713e-03 0.02282079 smoothness_worst 3.617243e+01 131.06234268 symmetry_worst 6.422548e+00 32.73189772 texture_mean 2.428527e-01 0.64064918 compactness_se -1.411215e+02 -15.15533223 concavity_se -1.259598e+01 49.25042906
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(4) 모델 성능 평가 (w/ test set) : confusion matrix, ROC curve |
모델 성능 평가는 훈련용 데이터셋이 아니라 반드시 테스트셋(test set)을 대상으로 진행해야 합니다!
(a) confusion matrix를 이용한 분류 정확도, 오분류율을 구해보고, (b) ROC 곡선도 그려보겠습니다.
(a) Confusion matrix, accuracy, test error rate
cutoff 기준을 
따라서 정확도(accuracy) = (TP + TN) / N = (72 + 41)/ 114 = 0.9912281 로서 매우 높게 나왔습니다. 유방암 예측(악성, 양성 분류) 로지스틱 회귀모형이 잘 적합되었네요.
> # calculate the probabilities on test set > glm.probs <- predict(glm.fit.6, wdbc_12[test,], type="response") > glm.probs[1:20] 6 8 10 11 12 0.986917125953939 0.992018931502162 0.998996856414432 0.992792364235021 0.999799557490392 13 25 35 39 54 0.999938548975209 1.000000000000000 0.999981682993826 0.003031968742568 0.999978684326258 61 67 72 77 86 0.000024521469882 0.000434266606978 0.000000006158534 0.002210951131364 0.999999952448192 92 98 106 108 115 0.923496652258054 0.000007994931448 0.998688178459914 0.000576845750543 0.000149114805822 > > # compute the predictions with the threshold of 0.5 > glm.pred <- rep(0, nrow(wdbc_12[test,])) > glm.pred[glm.probs > .5] = 1 > table(Y.test, glm.pred) glm.pred Y.test 0 1 0 72 0 1 1 41 > > mean(Y.test == glm.pred) # accuracy [1] 0.9912281 > mean(Y.test != glm.pred) # test error rate [1] 0.00877193
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(b) ROC 곡선 (ROC curve), AUC (The Area Under an ROC Curve)
cutoff 별 'False Positive Rate(1-Specificity)', 'True Positive Rate(Sensitivity)' 값을 연속적으로 계산하여 ROC 곡선을 그려보면 아래와 같습니다. 대각선이 random guessing 했을 때를 의미하며, 대각선으로부터 멀리 떨어져서 좌측 상단으로 곡선이 붙을 수록 더 잘 적합된 모형이라고 해석할 수 있습니다.
AUC(Area Under an ROC Curve)는 ROC 곡선 아래 부분의 면적의 합이며, 1이면 완벽한 모델, 0.5면 random guessing한 모델의 수준입니다. AUC가 0.9 이상이면 매우 우수한 모형이라고 할 수 있습니다.
이번 로지스틱회귀모형은 ROC 곡선을 봐서도 그렇고, AUC가 0.9933로서 아주 잘 적합된 모형이네요.
> # ROC curve > install.packages("ROCR") > library(ROCR) > pr <- prediction(glm.probs, Y.test) > prf <- performance(pr, measure = "tpr", x.measure = "fpr") > plot(prf, main="ROC Curve") > > # AUC (The Area Under an ROC Curve) > auc <- performance(pr, measure = "auc") > auc <- auc@y.values[[1]] > auc [1] 0.9933862 > > detach(wdbc) |
(5) 모델 해석 |
최종 적합된 로지스틱 회귀모형식은 아래와 같습니다.
(워드 수식입력기에서 '_'를 입력하니 자꾸 '.'으로 자동으로 바뀌는 바람에 변수이름 구분자 '_'가 전부 '.'로 잘못 입력되었습니다....)
위의 최종 모형으로 부터 다른 설명변수가 고정(통제)되었을 때 설명변수 
가령, texture_mean 의 회귀계수가0.42 이므로 이를 해석하자면, 다른 설명변수들이 고정되었을 때 texture_mean이 한 단위 증가할 때 유방암 악성일 확률의 오즈(odds)는 exp(0.42)=1.52 배 증가한다는 뜻입니다.
악성 유방암일 확률은
식을 사용해서 구할 수 있습니다. (위의 식 beta_hat 에 추정한 회귀계수를 대입해고 x 값에 관측값을 대입해서 풀면 됩니다)
많은 도움이 되었기를 바랍니다.
그동안 4번에 걸쳐서 로지스틱 회귀모형 분석에 대해 연재를 했는데요, 혹시 포스팅에 잘못된 부분이나 궁금한 부분이 있으면 댓글로 남겨주시면 수정, 보완하도록 하겠습니다.
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