R, Python 분석과 프로그래밍의 친구 (by R Friend)

통계적 검정 (statistical testing) 은 모집단의 모수 또는 분포 형태에 대한 추정에 대해 그것이 옳은지 그른지를 임의로 추출한 표본으로부터 통계량을 측정하여 판단하는 통계적 절차를 말합니다.

단일 모집단에 대한 통계적 추론 (추정과 검정) 과 관련하여

[표본이 크고 정규성 충족 시]

- 단일 모집단의 모평균에 대한 신뢰구간 추정과 검정

   : t.test()

- 단일 모집단의 모분산에 대한 신뢰구간 추정과 검정

   : chisq test

- 단일 모집단의 모비율에 대한 신뢰구간 추정과 검정

   : prop.test()

[정규성 미충족 시]

- 단일 모집단 중심에 대한 비모수 검정

  : wilcox.test()

[정규성 여부 검정]

  : shapiro.test(), qqnorm(), qqline()

을 차례로 살펴보겠습니다.

이번 포스팅에서는 정규분포 형태를 띠는 단일 모집단에서 임의로 많은 갯수의 표본을 추출하여 미지의 모수인 모평균 μ 에 대한 95% 신뢰계수의 신뢰구간 추정과 검정을 R의 t.test() 함수를 활용해서 해보겠습니다.

(표본의 크기가 충분히 크면 중심 극한의 정리에 의거하여 정규분포를 가정)

먼저, 기본 용어부터 살펴보자면

[ 귀무가설 (null hypothesis: H0), 대립가설 (alternative hypothesis : H1) ]

[ 대립가설의 형태에 따른 검정의 분류 (Types of alternative hypothesis) ]

[ 검정 통계량 (test statistic)과 P-value]

---------------------------------------------------------------------

문제 하나를 가지고 예를 들어서 R t.test() 함수를 활용해 추정과 검정 해보겠습니다.

문제 ) 2010년도에 서울 지역의 고등학교 1학년 남학생의 몸무게를 전수 조사하였더니 평균이 63.0 kg, 표준편차가 8.0 kg이 나왔다.  2015년에 15명의 남학생을 무작위로 표본을 추출하여 몸무게를 재어보니 {70.2, 54.9, 67.0, 60.5, 63.4, 61.9, 71.8, 66.1, 72.6, 73.0, 68.7, 70.3, 66.2, 55.6, 65.9} 와 같이 나왔을 때 서울 지역 고등학교 1학년 남학생의 몸무게가 5년 전보다 더욱 증가했다고 볼 수 있는가?

(대립가설 1, 단측 검정 "greater") '서울 지역 고등학교 1학년 남학생의 몸무게가 5년 전과 동일하다'는 귀무가설(H0), '서울 지역 고등학교 1학년 남학생의 몸무게가 5년 전보다 더욱 증가하였다'는 대립가설(H1)을 검정하시오.

• H0 : 서울 지역 고등학교 1학년 남학생의 몸무게는 5년 전보다 증가하지 않음
• H1 : 서울 지역 고등학교 1학년 남학생의 몸무게가 5년 전보다 더욱 증가

(1) 단측 검정 (one-sided test) 

> ##----------------------------------------------------------
> ## 단일 모집단의 모평균에 대한 신뢰구간 추정과 검정: t.test()
> ##----------------------------------------------------------
> 
> # x : random sample of 15 students's weight in high school
> x <- c(70.2, 54.9, 67.0, 60.5, 63.4, 61.9, 71.8, 66.1, 72.6, 73.0, 68.7, 70.3, 66.2, 55.6, 65.9)
> mean(x)
[1] 65.87333
> var(x); sd(x)
[1] 32.54495
[1] 5.704818
> 

> stem(x) # stem-and-leaf plot

  The decimal point is 1 digit(s) to the right of the |

  5 | 
  5 | 56
  6 | 123
  6 | 66679
  7 | 00233

> 

> 

> # one-sided test : "greater"
> t.test(x, # weight vector for t-test
+        alternative = c("greater"), #  alternative = c("less", "greater", "two-sided")
+        mu = 63.0, # mu of population
+        conf.level = 0.95) # confidence level or confidence coefficient (1-α)

	One Sample t-test

data:  x
t = 1.9507, df = 14, p-value = 0.0357
alternative hypothesis: true mean is greater than 63
95 percent confidence interval:
 63.27896      Inf
sample estimates:
mean of x 
 65.87333

(해석) 위 t.test()를 활용한 분석 결과 t 통계량은 1.9507, P-value 는 0.0357로서 유의수준 (significance level) 5% 하에서는 귀무가설이 기각, 대립가설이 채택되어 "5년 전보다 남학생들 몸무게가 증가"하였다고 판단할 수 있습니다.

P-value가 0.0357 이므로 15개의 임의 표본을 추출해서 100 번 반복 조사를 해보면 약 3번~4번 밖에 위와 같은 경우가 발생한다는 뜻이므로, 귀무가설 하에서는 일어나기에 쉽지 않은 경우라고 하겠지요?

95% 신뢰구간은 아래 값처럼 (63.27896 ~ 무한대)가 되겠네요.  단측검정으로 우측검정을 했기 때문에 이런 신뢰구간 값이 나온겁니다. 

> # two-sided test : "two.sided"
> t.test(x, # weight vector for t-test
+        alternative = c("two.sided"), #  alternative = c("less", "greater", "two-sided")
+        mu = 63.0, # mu of population
+        conf.level = 0.95) # confidence level or confidence coefficient (1-α)

	One Sample t-test

data:  x
t = 1.9507, df = 14, p-value = 0.0714
alternative hypothesis: true mean is not equal to 63
95 percent confidence interval:
 62.71411 69.03256
sample estimates:
mean of x 
 65.87333

> # indexing of 95% confidence level value
> t.test_confi_95 <- t.test(x, alternative = c("two.sided"), mu = 63.0, conf.level = 0.95) 
> 
> 
> names(t.test_confi_95) # statistics
[1] "statistic"   "parameter"   "p.value"     "conf.int"    "estimate"    "null.value"  "alternative"
[8] "method"      "data.name"  
> 
> t.test_confi_95$conf.int # confidence interval at 95% confidence level
[1] 62.71411 69.03256
attr(,"conf.level")
[1] 0.95
> 
> t.test_confi_95$conf.int[1] # lower limit
[1] 62.71411
> t.test_confi_95$conf.int[2] # upper limit
[1] 69.03256