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  1. 2020.03.22 [R] 자기상관계수 (Autocorrelation Coefficients), 자기상관그림(Autocorrelation Plot) (10)

자기상관계수(Autocorrelation coefficients), 자기상관그림(Autocorrelation Plot) (a) 데이터가 시간에 의존하는 것 없이 무작위성 (randomness, no time dependence in the data) 을 띠는지 확인하는데 사용됩니다. 그리고 (b) 시계열분석에서 Box-Jenkins ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) 모형 식별 단계(model identification stage)에서 AR 차수를 구하는데도 사용됩니다. 


이번 포스팅에서는 R을 사용해서 


(1) 자기상관계수(Autocorrelation coefficients)를 계산하고, 

(2) 자기상관계수의 95% 신뢰구간(95% confidence interval)을 계산하고, 

(3) 자기상관그림(Autocorrelation Plot)을 그리는 방법


을 소개하겠습니다. 


본론에 들어가기 전에 먼저, 상관계수(correlation coefficients)와 자기상관계수(autocorrelation coefficients)를 비교해보겠습니다. 


상관계수와 자기상관계수의 유사한 점은 두 연속형 변수 간의 관계를 분석하다는 점입니다. 기본 개념은 공분산을 표준편차로 나누어서 표준화해주며, (자기)상관계수가 -1 ~ 1 사이의 값을 가지게 됩니다. 


상관계수와 자기상관계수가 서로 다른 점은, 상관계수는 특정 동일 시점을 횡단면으로 해서 Y와 다른 X1, X2, ... 변수들 간의 관계를 분석합니다. 반면에 자기상관계수는 동일한 변수(Yt, Yt-1, Yt-2, ...)의 서로 다른 시간 차이 (time lag) 를 두고 관계를 분석하는 것입니다. 


기존에 cross-sectional 관점의 Y와 X 변수들 간의 상관관계 분석에 많이 익숙해져 있는 경우에, 시계열 분석을 공부할 때 보면 자기 자신의 시간 차이에 따른 자기상관관계 관점이 처음엔 헷갈리고 잘 이해가 안가기도 합니다. 관점이 바뀐것일 뿐 어려운 개념은 아니므로 정확하게 이해하고 가면 좋겠습니다. 




  (1) 자기상관계수(Autocorrelation coefficients) 구하고, 자기상관그림 그리기


자기상관계수는 아래의 공식과 같이  로 계산합니다. 



간단한 예로서, 1 ~ 50까지의 시간 t에 대해서 싸인곡선 형태의 주기적인 파동을 띠는 값에 정규확률분포 N(0, 1) 에서 추출한 난수를 더하여 생성한 Y 데이터셋에 대해서 R로 위의 공식을 이용해서 각 시차(time lag)별로 자기상관계수를 구해보겠습니다. 



# sine wave with noise

set.seed(123)

noise <- 0.5*rnorm(50, mean=0, sd=1)

t <- seq(1, 50, 1)

y <- sin(t) + noise


plot(y, type="b")





자기상관계수를 구하고 자기상관그림을 그리는 가장 간단한 방법은 R stats 패키지에 들어있는 acf() 함수를 사용하는 것입니다. 



z <- acf(y, type=c("correlation"), plot=TRUE)


# autocorrelation coefficients per time lag k

round(z$acf, 4)


         [,1]

 [1,]  1.0000

 [2,]  0.3753

 [3,] -0.3244

 [4,] -0.5600

 [5,] -0.4216

 [6,]  0.2267

 [7,]  0.5729

 [8,]  0.3551

 [9,] -0.0952

[10,] -0.5586

[11,] -0.4582

[12,]  0.0586

[13,]  0.3776

[14,]  0.4330

[15,]  0.0961

[16,] -0.4588

[17,] -0.4759


# autocorrelation plot



좀 복잡하기는 합니다만, 위의 자기상관계수를 구하는 공식을 이용해서 R로 직접 사용자 정의 함수를 만들고, for loop 반복문을 이용해서 시차(time lag) k 별로 자기상관계수를 구할 수도 있습니다. 자기공분산을 분산으로 나누어서 표준화해주었습니다. 시차 0(time lag 0) 일 경우에는 자기자신과의 상관관계이므로 자기상관계수는 '1'이 되며, 표준화를 해주었기 때문에 자기상관계수는 -1 <= autocorr(Y, Yt-k) <= 1  사이의 값을 가집니다. 



# User Defined Function of Autocorrelation

acf_func <- function(y, lag_k){

  # y: input vector

  # lag_k : Lag order of k

  

  N = length(y) # total number of observations

  y_bar = mean(y)

  

  # Variance

  var = sum((y - y_bar)^2) / N

  

  # Autocovariance

  auto_cov = sum((y[1:(N-lag_k)] - y_bar) * (y[(1+lag_k):(N)] - y_bar)) / N

  

  # Autocorrelation coefficient = Autocovariance / Variance

  r_k = auto_cov / var

  

  return(r_k)

}



# Compute Autocorrelation per lag (from 0 to 9 in this case)

acf <- data.frame()

for (k in 0:(length(y)-1)){

  acf_k <- round(acf_func(y, lag_k = k), 4)

  acf[k+1, 'lag'] = k

  acf[k+1, 'ACF'] = acf_k

}


> print(acf)

   lag     ACF

1    0  1.0000

2    1  0.3753

3    2 -0.3244

4    3 -0.5600

5    4 -0.4216

6    5  0.2267

7    6  0.5729

8    7  0.3551

9    8 -0.0952

10   9 -0.5586

11  10 -0.4582

12  11  0.0586

13  12  0.3776

14  13  0.4330

15  14  0.0961

16  15 -0.4588

17  16 -0.4759

18  17 -0.0594

19  18  0.2982

20  19  0.3968

21  20  0.1227

22  21 -0.2544

23  22 -0.3902

24  23 -0.1981

25  24  0.1891

26  25  0.3701

27  26  0.1360

28  27 -0.1339

29  28 -0.2167

30  29 -0.1641

31  30  0.0842

32  31  0.2594

33  32  0.1837

34  33  0.0139

35  34 -0.1695

36  35 -0.1782

37  36 -0.0363

38  37  0.1157

39  38  0.1754

40  39  0.0201

41  40 -0.1428

42  41 -0.1014

43  42  0.0000

44  43  0.0750

45  44  0.0641

46  45 -0.0031

47  46 -0.0354

48  47 -0.0405

49  48 -0.0177

50  49 -0.0054

 



이번 예의 경우 시간의 흐름에 따라 싸인 파동 (sine wave) 형태를 보이는 데이터이므로, 당연하게도 시차를 두고 주기적으로 큰 양(+)의 자기상관, 큰 음(-)의 자기 상관을 보이고 있습니다. 




  (2) 자기상관계수의 95% 신뢰구간(95% confidence interval) 계산


자기상관계수의 95% 신뢰구간은 아래의 공식으로 간단하게 구할 수 있습니다. 


자기상관계수의 95% 신뢰구간 = 


이때 N은 샘플 개수, z 는 표준정규분포의 누적분포함수, 는 유의수준 5% 입니다. 


이미 익숙하게 알고 있다시피 유의수준 =0.05 에서의 z = 1.96 입니다. 이번 예에서의 관측치 개수 N = 50 입니다. 따라서 자기상관계수의 95% 신뢰구간은  이 됩니다. 



> # z quantile of 95% confidence level

> qnorm(0.975, mean=0, sd=1, lower.tail=TRUE)

[1] 1.959964

> qnorm(0.025, mean=0, sd=1, lower.tail=TRUE)

[1] -1.959964

> # sample size

> N <- length(y)

> print(N)

[1] 50

> # 95% confidence interval of autocorrelation

> qnorm(0.975, mean=0, sd=1, lower.tail=TRUE)/ sqrt(N)

[1] 0.2771808

> qnorm(0.025, mean=0, sd=1, lower.tail=TRUE)/ sqrt(N)

[1] -0.2771808




위의 acf() 함수로 그린 자기상관그림(autocorrelation plot)에서 ACF 축 +0.277 과 -0.277 위치에 수평으로 그어진 점선이 바로 95% 신뢰구간의 상, 하한 선입니다. 


위의 자기상관그림에서 보면 95% 신뢰구간의 상, 하한 점선을 주기적으로 벗어나므로 이 Y 데이터셋은 무작위적이지 않으며 (not random), 시계열적인 자기상관(autocorrelation)이 존재한다고 판단할 수 있습니다. 


만약, 무작위적인 데이터셋에 대해서 자기상관계수를 계산하고 자기상관그림을 그린다면, 시차(time lag)에 따른 자기상관계수가 모두 95% 신뢰구간 상, 하한 점선의 안쪽에 위치할 것입니다. 


많은 도움이 되었기를 바랍니다. 

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Posted by Rfriend

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