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  1. 2015.10.25 R (1) 일원분산분석(one-way ANOVA) : aov() (37)

2개의 모집단에 대한 평균을 비교, 분석하는 통계적 기법으로 t-Test를 활용하였다면, 비교하고자 하는 집단이 3개 이상일 경우에는 분산분석 (ANOVA : Analysis Of Variance)를 이용합니다. 

 

설명변수는 범주형 자료(categorical data)이어야 하며, 종속변수는 연속형 자료(continuous data) 일 때 3개 이상 집단 간 평균 비교분석에 분산분석(ANOVA) 을 사용하게 됩니다.

 

분산분석(ANOVA)은 기본적으로 분산의 개념을 이용하여 분석하는 방법으로서, 분산을 계산할 때처럼 편차의 각각의 제곱합을 해당 자유도로 나누어서 얻게 되는 값을 이용하여 수준평균들간의 차이가 존재하는 지를 판단하게 됩니다.  

 

 

 

[ 일원분산분석 (one-way ANOVA)의 개념 ]

 

 

 

 

분산분석 (ANOVA)은 영국의 통계학자 피셔(R.A. Fisher)가 고안한 분석 기법으로서, 최초에는 농사실험과 관련된 연구에서 사용되었으나 요즘에는 사회과학, 공학, 의학 등 폭넓게 적용되고 있습니다.

 

 

[ 분산분석 (ANOVA)의 분류 ]

 

 

 

3개 이상의 집단에 대한 비교 시 모집단이 정규분포를 따르지 않을 경우에는 비모수 추정과 검정 기법을 이용해야 하며, 이에 대해서는 추후에 별도로 다루도록 하겠습니다.

 

 

분산분석은 측정하고자 하는 값에 영향을 미치는 요인(Factor)의 수에 따라서 구분하는데요, 가령, 작업자(Worker)에 따라서 생산량(Volume of Production)의 차이가 있는가를 비교 분석한다고 했을 때 '작업자(Worker)'가 바로 요인(Factor)이 되겠습니다. 그리고 작업자 3명 '홍길동', '김철희', '최영희'를 요인 수준 (Factor Level) 혹은 처리 (treatment) 라고 합니다.

 

측정값에 영향을 미치는 요인(Factor)이 1 개인 실험은 '일원분산분석' (one-way ANOVA) 라고 하며, 측정값에 영향을 미치는 요인(Factor)이 2 개인 실험은 '이원분산분석' (two-way ANOVA) 라고 부릅니다.

 

 

[ ANOVA Model and Description in R ]

 

n-way ANOVA

Model

Description

one-way ANOVA

y ~ x1

  y is explained by x1 only

two-way ANOVA

y ~ x1 + x2

  y is explained by x1 and x2

two-way ANOVA

y ~ x1 * x2

  y is explained by x1, x2 and the interaction   
  between them

three-way ANOVA

y ~ x1 + x2 + x3

  y is explained by x1, x2 and x3

 

 

 

이번 포스팅에서는 요인(Factor)이 1개인 일원분산분석(one-way ANOVA)의 이론과 R의 aov() 함수의 사용법에 대해서 설명해보겠습니다.

 

요인(Factor)이 1개이면서 r개의 요인 수준(Factor Level)을 가지고 있고, 각 수준에서 박복 측정수가 n개인 일원분산분석(one-way ANOVA)는 다음과 같은 형태의 자료 형태와 모형을 가지게 됩니다.

 

 

 

[ 일원분산분석 데이터 형태 (dataset for one-way ANOVA) ]

 

 

 

 

[ 일원분산분석 모형 (one-way ANOVA model) ] 

 

 

분산분석(ANOVA)은 측정된 자료값들의 전체 변동을 비교하고자 하는 요인 수준(Factor Level) 간의 차이에 의해서 발생하는 변동과 그 밖의 요인에 의해서 발생하는 변동으로 나누어서 자료를 분석하는 것이 기본 원리가 되겠습니다.

 

 

[ 분산분석 기본 원리 1 ]

 

 

 

위에서 제시한 식의 양변을 제곱하여 전체 측정값들에 대해서 모두 더하여 식을 정리하면 아래와 같이 됩니다. (자세한 과정은 생략함)

 

 

[ 분산분석 기본 원리 2 ]

 

 

 

 

위의 총제곱합(SST)와 처리제곱합(SSTR), 오차제곱합(SSE) 간의 기본원리를 이용하여 분산분석에서 사용하는 통계량들을 표로 일목요연하게 정리한 것이 아래의 일원분산분석표(one-way ANOVA table) 가 되겠습니다.

 

 

[ 원분산분석표 (one-way ANOVA table) ]

 

 구분

 제곱합

(Sum of Squares)

자유도

(degrees of freedom) 

평균제곱

(Mean Square Error) 

검정통계량 F0

(F statistics)

 처리

(Treatment)

 SSTR

r-1 

MSTR 

MSTR/MSE 

 오차

(Error)

 SSE

 nT - r

 MSE

 

 전체

(Total)

 SST

 nT - 1

 

 

 

 

분산분석표의 제일 오른쪽에 있는 F0 통계량을 이용해서 전체 수준들간의 평균이 같은지 아니면 다른지를 검정합니다.  기본 개념을 설명하자면, F0 통계량은 처리평균제곱 (MSTR)의 크기에 영향을 받으므로 처리평균제곱 (MSTR)이 커지면 오차평균제곱(MSE)은 작아지게 되며, 따라서 F0 통계량은 분자가 커지고 분모가 작아지므로 당연히 커지게 됩니다. 즉, F0 통계량 값이 크다는 것은 수준 평균들간에 평균의 차이가 크다는 의미가 되겠습니다.

 

 

그러면, 요인효과에 대한 검정을 위해서 분산분석에서는 아래와 같은 귀무가설과 대립가설을 사용하며, 검정통계량으로는 F 를 사용하여 기각역 또는 P-value 에 의해서 검정을 하게 됩니다.  

 

 

  [ 가설 ]

   귀무가설 H0 : μ1 = μ2 = ... = μr

   대립가설 H1 : 모든 μi 는 같지 않다.  i = 1, 2, ..., r

 

  [ 기각역 혹은 P-value에 의한 검정 ]

   표본으로부터 계산된 검정통계량의 값 f0가 유의수준(significance level) α 에서

 

   f0 >= Fα(r - 1, nT - r) 또는 P-value = P(F >= f0) < α 이면, H0 기각 (H0 reject)

 

   f0 < Fα(r - 1, nT - r) 또는 P-value = P(F >= f0) >= α 이면, H0 채택 (H0 accept)

 

 

 

 

이론 설명이 무척 길어졌는데요, 이제 드디어, 아래 문제를 R의 aov() 함수를 사용해서 풀어보도록 하겠습니다.

 

 

 


 

 

문제 ) 정유사에서 온도(Factor, one-way)에 따라서 휘발유 생산량에 변화가 있는지 (즉, 영향이 있는지) 알아보기 위하여 온도를 3가지 조건(3 Factor Levels)으로 실험설계를 하여 10번에 걸쳐서 휘발유 생산량을 측정하였습니다. 관찰값이 아래와 같을 때 조사되었을 때 온도의 조건에 따라서 휘발유 생산량에 차이가 있는지 유의수준 α = 10% 로 검정하시오.

 

 

 

 10번 실험에 의한 측정값

 요인 수준

(Factor Level)

 1

2

 10

 온도 조건 1

(Temp condition 1)

 50.5

52.1

51.9

52.4 

50.6

51.4 

51.2 

52.2 

51.5 

50.8 

 온도 조건 2

(Temp condition 2)

 47.5

47.7 

46.6 

47.1 

47.2 

47.8 

45.2 

47.4 

45.0 

47.9 

 온도 조건 3

(Temp condition 3)

 46.0

47.1

45.6

47.1

47.2

46.4

45.9 

47.1

44.9

46.2 

 

 

 


 

 

R에 (1) 위의 관측값들을 벡터로 입력하고,

      (2) boxplot() 함수와 summary()를 이용하여 탐색적 분석을 해본 후에,

      (3) aov() 함수를 이용하여 one-way ANOVA 분석을 하였으며 
         : aov(y ~ group, data = dataset)

      (4) 기본 가정 중에 오차의 등분산성을 검정하기 위해 Bartlett 검정

         : bartlett.test(y ~ group, data = dataset)

을 실시하였습니다.

 

 

이때 조심해야 할 것이 있는데요, dataset을 데이터프레임으로 해서 그룹(group, factor level)에 해당하는 변수는 반드시 요인(Factor)형이어야 하므로, 만약 요인(Factor)형이 아니라면 먼저 transfrom(factor()) 함수를 이용해서 변환을 시켜주고 ANOVA 분석을 수행해야 합니다.

 

 

> ##----------------------------------------------------------
> ## One-way ANOVA : aov(), oneway.test
> ##----------------------------------------------------------
> 
> ##--- Are there any daily outcome differences among temperature conditions?
> # group 1 : temperature condition 1 
> # group 2 : temperature condition 2
> # group 3 : temperature condition 3
> 
> # daily outcome by tmep condition (group 1/2/3)
> y1 <- c(50.5, 52.1, 51.9, 52.4, 50.6, 51.4, 51.2, 52.2, 51.5, 50.8)
> y2 <- c(47.5, 47.7, 46.6, 47.1, 47.2, 47.8, 45.2, 47.4, 45.0, 47.9)
> y3 <- c(46.0, 47.1, 45.6, 47.1, 47.2, 46.4, 45.9, 47.1, 44.9, 46.2)
> 
> y <- c(y1, y2, y3)
> y
 [1] 50.5 52.1 51.9 52.4 50.6 51.4 51.2 52.2 51.5 50.8 47.5 47.7 46.6 47.1 47.2 47.8 45.2 47.4 45.0
[20] 47.9 46.0 47.1 45.6 47.1 47.2 46.4 45.9 47.1 44.9 46.2
> 
> n <- rep(10, 3)
> n
[1] 10 10 10
> 
> group <- rep(1:3, n)
> group
 [1] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
> 
> # combining into data.frame
> group_df <- data.frame(y, group)
> group_df
      y group
1  50.5     1
2  52.1     1
3  51.9     1
4  52.4     1
5  50.6     1
6  51.4     1
7  51.2     1
8  52.2     1
9  51.5     1
10 50.8     1
11 47.5     2
12 47.7     2
13 46.6     2
14 47.1     2
15 47.2     2
16 47.8     2
17 45.2     2
18 47.4     2
19 45.0     2
20 47.9     2
21 46.0     3
22 47.1     3
23 45.6     3
24 47.1     3
25 47.2     3
26 46.4     3
27 45.9     3
28 47.1     3
29 44.9     3
30 46.2     3
> 
> sapply(group_df, class)
        y     group 
"numeric" "integer" 
> 
> # transform from 'integer' to 'factor'
> group_df <- transform(group_df, group = factor(group))
> sapply(group_df, class)
        y     group 
"numeric"  "factor" 
> 
> 
> # boxplot
> attach(group_df)
The following objects are masked _by_ .GlobalEnv:

    group, y

> boxplot(y ~ group, 
+         main = "Boxplot of Daily Outcome by Temperature condition 1/2/3", 
+         xlab = "Factor Levels : Temperature condition 1/2/3", 
+         ylab = "Daily Outcome")
> 
 

 

 
 
 
> 
> # descriptive statistics by group
> tapply(y, group, summary)
$`1`
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
  50.50   50.90   51.45   51.46   52.05   52.40 

$`2`
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
  45.00   46.72   47.30   46.94   47.65   47.90 

$`3`
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
  44.90   45.92   46.30   46.35   47.10   47.20 

> detach(group_df)
> 
> # one-wayANOVA
> aov(y ~ group, data = group_df)
Call:
   aov(formula = y ~ group, data = group_df)

Terms:
                  group Residuals
Sum of Squares  156.302    19.393
Deg. of Freedom       2        27

Residual standard error: 0.8475018
Estimated effects may be unbalanced
 
> summary(aov(y ~ group, data = group_df))
            Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)    
group        2 156.30   78.15   108.8 1.2e-13 ***
Residuals   27  19.39    0.72                    
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
> 
> # Bartlett test to test the null hypothesis of equal group variances
> bartlett.test(y ~ group, data = group_df)

	Bartlett test of homogeneity of variances

data:  y by group
Bartlett's K-squared = 1.6565, df = 2, p-value = 0.4368

 

 

 

일원분산분석(one-way ANOVA) 결과 검정통계량 F-value가 108.8으로 나왔으며, P-value 값은 '1.2e-13'으로서 매우 작게 나와 유의수준 10% 에서 귀무가설을 기각하고 대립가설을 채택하게 되어 "온도 조건 1/2/3에 따라서 휘발유 생산량에 차이가 있다"라고 판단할 수 있겠습니다.

 

오차의 등분산성 가정에 대해 Bartlett 검정 결과 P-value가 0.4368로서 유의수준 10%에서 귀무가설을 채택하여 "오차의 등분산성 가정을 만족한다"고 할 수 있겠습니다.

 

많은 도움 되었기를 바랍니다.

질문은 댓글로 남겨주세요.

 

  • 쌍을 이룬 집단 간 평균 다중비교 (multiple comparisons)

Tukey's HSD(honestly significant difference) test 참조

Duncan's LSR(least significant range) test 참고

 

 

  • 대비 (contrast)

샤페 검정법 (scheffe test) 참고

 

 

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Posted by R Friend R_Friend

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  1. 2016.03.14 14:49  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    비밀댓글입니다

    • R Friend R_Friend 2016.03.14 21:15 신고  댓글주소  수정/삭제

      하루에 400여명 방문자가 가운데 대부분의 분들은 그냥 포스팅 글만 보고 가는데요, 이렇게 도움이 되었다는 댓글 남겨주시니 감사합니다. ^^

  2. 쿡북 2016.08.05 09:42 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    아 진짜 잘 봤습니다. 이렇게 R 코드 레벨까지 깔끔하게 정리해주시다니...
    다른 글들도 지금 챙겨보는 중입니다. 성의 있는 포스팅 감사합니다.

  3. 쿡북 2016.08.09 21:10 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    네 글좀 페북에 공유차 올렸습니다 아마 많이들 들어오실듯 ^^ 좋은글 감사합니다

    • R Friend R_Friend 2016.08.09 21:26 신고  댓글주소  수정/삭제

      JY_P님, 페북 링크해주셔서 감사합니다. 어제 580명 방문이었는데 오늘 현재 2,300여명 방문이네요. 역대 최고 기록입니다. 페북 영향력이 굉장하시네요. ^^b

  4. 쿡북 2016.08.09 21:28 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    ㅎㅎ 그렇죠? 좋은글은 공유가 잘 되어야죠 ㅎㅎ 혹시 페북하시면 여러 활동하셔도 좋을듯 하네요 앞으로 많이 드나들겠습니다 감사합니다

  5. 통계야친구하자 2016.08.09 22:05  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    통계의 필요성을 막 깨닫고 여기저기 기웃거리고 있는 일인입니다. 페이스북에 개념글로 소개된것 보고 여기까지 왔네요ㅎ정성 깊은 포스팅 ,개념정립 하는데 많은 도움 받겠습니다. 감사합니다

  6. !! 2016.08.09 22:14  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    페북에서 보고 왔는데. 와우! R뿐 아니라 통계설명도 너무 훌륭하네요! 널리 알려야겠습니다.

  7. freepsw 2016.08.10 00:20  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    JY_P 와 R_Friend 두분은 서로 아는사이인데 ㅎㅎ
    모른척 하시는건가요 ^^
    이차장님 일도 바쁘신데 블로그까지 대단하세요!!

  8. sfsfsf 2016.08.10 23:02  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    감사합니다!
    마지막 예제에서 anova table에서 궁금한 것이 있습니다.
    SSTR의 d.f가 어째서 1이 되는거죠? factor level이 1,2,3 이므로 3-1=2 여야 하지 않나요??
    SSE의 d.f는 30-3=27 이고
    합해서 Total의 d.f가 29가 되어야 하지 않나 하는데 왜 이렇게 출력되는 건지 궁금합니다.

    • R Friend R_Friend 2016.08.10 23:21 신고  댓글주소  수정/삭제

      sfsfsf님,
      aov(y ~ group, data = group_df) 에서는 말씀하신대로 제대로 분석결과가 나왔는데요,

      summary(aov(y ~ group, data = group_df)) 에서 제가 괄호안에 'data = group_df' 를 실수로 빼먹었었네요. 죄송합니다. ^^;

      summary(aov(y ~ group, data = group_df)) 에 data = group_df 추가해서 R script 수정해서 이제 분석결과 제대로 나왔습니다.

      잘못된 부분 지적해주셔서 감사합니다.

    • sfsfsf 2016.08.10 23:22  댓글주소  수정/삭제

      summary에서 aov table 부르실때 data= 옵션이 누락되어서 그렇게 나온 것 같네요!
      summary(aov(y ~ group, data=group_df))로 바꾸니 df가 제대로 나오네요... 왜 이렇게 된 건지. data= 생략했을 때 R이 어떻게 처리를 하는지는 저도 잘 모르겠습니다 ㅠ

    • sfsfsf 2016.08.10 23:24  댓글주소  수정/삭제

      앗ㅎㅎ 답글 달던 중이었는데 빠른 답장 감사합니다!! 오늘 처음 왔는데 자주 찾아뵙겠습니다 ㅎㅎ

    • R Friend R_Friend 2016.08.10 23:30 신고  댓글주소  수정/삭제

      ㅋㅋ, 채팅하는거 같네요.

      aov{stats} 에서 Arguments 찾아보니

      data : A data frame in which the variables specified in the formula will be found. If missing, the variables are searched for in the standard way.

      data 자리를 입력하지 않으면 standard way(?)로 변수를 찾는다고 나와있네요. y랑 group이 객체 values에 저장이 되어있어서 실행이 되긴 했나본데요, 결과가 왜 다르게 나왔는지는 저도 잘 모르겠습니다.

      자주 들러주시고, 댓글도 남겨주시면 저도 덕분에 배우고 좋겠습니다. ^^

  9. LDH 2016.09.01 11:34  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    항상 R 분석과 프로그래밍에 대해 많은 지식을 얻어 갑니다. 정말 감사합니다. 궁금한 점이 있는데 P 값이 유의수준보다 작으면 귀무가설을 채택하는 의미가 아닌가요??

  10. LDY 2016.09.06 22:56  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    꽤 오래 공부했음에도 정확하게 이해하지 못하고 느낌만 이해하다가, 이번에 완전히 이해했습니다. 양질의 자료 정말 감사드립니다!!

  11. cori 2017.04.23 13:43  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    안녕하세요,
    좋은 글 과제하는데 많은 참고가 되었습니다~^^
    근데, 한가지 질문이 있는데 유의수준 10%라는 부분은 어떻게 알 수 있는지 궁금합니다.
    기본적으로 R은 유의수준 5% 검정으로 알고 있는데,
    별도로 옵션을 설정한 곳이 없어서요.
    t.test에서는 conf.level로 설정이 가능한데, aov함수에서는 아무리 찾아도 안 보이네요.
    최종 결론 도출을 할 때 필요해서 여쭤봅니다.

  12. cori 2017.04.26 19:26  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    안녕하세요,
    빨리 댓글을 달아주셔서 감사합니다.
    근데, 제가 이제 막 R과 통계에 입문한 상태여서
    조금만 더 자세하게 설명해 주시면 감사하겠습니다.
    말씀하신 summary 부분이 아래 부분 같은데,
    이 곳에서 어떻게 10% 유의수준을 확인할 수 있는지와,
    별도로 유의수준을 5%로 변경 가능한지 시간 되실 때
    확인 부탁 드리겠습니다~ 죄송합니다~^^;;

    > summary(aov(y ~ group, data = group_df))
    Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
    group 2 156.30 78.15 108.8 1.2e-13 ***
    Residuals 27 19.39 0.72
    ---
    Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

    >
    > # Bartlett test to test the null hypothesis of equal group variances
    > bartlett.test(y ~ group, data = group_df)

    Bartlett test of homogeneity of variances

    data: y by group
    Bartlett's K-squared = 1.6565, df = 2, p-value = 0.4368


    출처: http://rfriend.tistory.com/131 [R, Python 분석과 프로그래밍 (by R Friend)]

    • R Friend R_Friend 2017.04.26 23:27 신고  댓글주소  수정/삭제

      안녕하세요 cori님,

      > summary(aov(y ~ group, data = group_df))
      Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
      group 2 156.30 78.15 108.8 1.2e-13 ***

      에서 순서대로 풀어보면요,
      (1) Df : 2
      (2) Sum Sq : 156.30
      (3) Mean Sq : 78.15 ( =(2)/(1) )
      (4) F value : 108.8
      (5) Pr(>F) : 1.2e-13***

      (4) 번의 F value가 F-test 값입니다.
      그리고 (5)번이 P-value 입니다. 1.2e-13 이면 0.00000000000012 이므로 유의 수준 5% 미만을 충족하고도 남을 만큼 매우 매우 작은 값임을 알 수 있습니다.

      뒤에 *** asterisk 는 아래 설명처럼 P-value 값에 따라서 '***', '**', '*', ' ' 로 가독성을 높여주기 위해서 뒤에 붙여주는 것입니다. *** 세개면 P-value가 0~0.001 로서 매우 유의하다고 판단할 수 있습니다.

      Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1


      ========================
      Bartlett test는 아래 결과 처럼 p-value = 0.4368 이라고 명확하게 표기되어 있으므로 혼란이 없을 것으로 생각합니다.
      -------------
      Bartlett test of homogeneity of variances

      data: y by group
      Bartlett's K-squared = 1.6565, df = 2, p-value = 0.4368 <= 바로 이 값이 p-value

    • aov 2019.04.06 16:25  댓글주소  수정/삭제

      group_df <- transform(group_df, group = factor(group))

      factor 처리 안하면 그렇게 나오네요

  13. zobiet 2017.06.22 17:48  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    정말 좋은 자료 올려주셔서 감사합니다^^

  14. cymen 2017.07.23 18:11  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    글 너무 잘 읽었습니다 예제가 잘되있어서 따라하기 너무 좋아요 !!
    예제를 따라하다가 궁금증이 생겼는데요
    예제를 따라하고 나온 결과입니다.
    Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
    group 1 130.56 130.56 81 9.34e-10 ***
    Residuals 28 45.13 1.61


    선생님의 예제는
    Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
    group 2 156.30 78.15 108.8 1.2e-13 ***
    Residuals 27 19.39 0.72


    "검정통계량 F-value가 81으로 나왔으며, P-value 값은 '1.2e-13'으로서 매우 작게 나와..."

    여기서 궁금증이 생겼는데 선생님의 예제에는 F-value가 108.8 이 나온것으로 보이는데 F-value 가 제가 실행하고 나온 예제 결과는 81이 나왔는데 어떤게 맞는건가요?? 아니면 무슨 차이가 숨어
    있는건지요?? 이부분만 다른결과가 나와서 궁금하네요 ㅠㅠ

    • R Friend R_Friend 2017.07.23 22:20 신고  댓글주소  수정/삭제

      안녕하세요 cymen 님,
      반갑습니다.

      본문 R script 다시 보면서 실행해보니 F통계량은 108.8이 맞네요. 본문 내용 수정하였습니다.

      -----------
      아래 처럼 R script 쓰는게 맞구요, 이러면 F-value가 108.8 이 나옵니다.
      summary(aov(y ~ group, data = group_df)) <== 올바른 R script
      -----------

      -----------
      반면에, 만약 아래처럼 괄호안에 data = group_df 를 안쓰면 F-value로 81이 나오게 됩니다. 이게 예전에 제가 실수로 잘못 썼던 R script 인데요, 이렇게 하면 안된답니다. ㅜ_ㅜ

      summary(aov(y ~ group)
      <== 잘못된 R script (괄호 안에 data = group_df 명기 필요)
      -----------

      도움 되었기를 바랍니다.

  15. Lawine 2019.03.06 18:20  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    안녕하세요 도움 많이 받고 있습니다.

    수식을 보다 이상한 점이 보여서 덧글 답니다.

    글로 표현하려니 이상하긴 한데

    [분산분석 기본 원리 2]의 ② 처리제곱합(SSTR)에서 Y_i가 아니라 Y ̅_i가 아닌가 싶네요

    확인 부탁드립니다.

    • R Friend R_Friend 2019.04.10 21:42 신고  댓글주소  수정/삭제

      안녕하세요 Lawine님,

      댓글에 남겨주신 말씀처럼 제가 실수를 했네요. 댓글 남겨주신 덕분에 포스팅 본문의 수식 수정하였습니다.

      수식 꼼꼼히 봐주시고 댓글 남겨주셔서 고맙습니다.

  16. Sanochi1031 2019.11.29 15:38  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    경제학 공부하면서 R을 처음 써보는데, 선생님 홈페이지 보면서, 상당히 편리하게 이해했습니다. 좋은 글과 정보에 정말 감사드립니다.