중심극한의 정리 (Central Limit Theorem) 이란 무엇이고, 왜 중요한가?

중심극한정리(Central Limit Theorem, 이하 CLT)는 통계학의 기본 개념으로, 특히 표본 크기가 충분히 큰 경우 모집단의 표본 평균 분포를 설명합니다.

 

1. 중심극한정리(Central Limit Theorem, CLT) 개념

 

(1) 무작위 추출 (Random Sampling): 중심극한정리는 모양이 어떤 분포든지 상관없이 주어진 모집단에서 고정된 크기의 무작위 표본을 추출하고 각 표본의 평균을 계산한다고 가정합니다.

 

(2) 표본 평균 분포 (Distribution of Sample Mean): CLT는 원래 모집단 분포의 모양과 상관없이 표본 평균의 분포가 샘플 크기가 증가함에 따라 정규 분포를 근사화한다고 말합니다. 

 

(3) 크기가 큰 표본 (Large Size of Sample): 정규 분포 근사는 표본 크기가 충분히 큰 경우에 특히 잘 적용되며 일반적으로 n ≥ 30입니다. 그러나 경우에 따라서는 적은 표본 크기에서도 CLT 근사가 가능할 수 있습니다. 특히 기본 모집단 분포가 극도로 편향되지 않은 경우입니다. 

 

 

 

이는 표본 평균의 분포(X bar)가 평균이 모집단 평균(mu)과 같고 표준 편차(sigma/sqrt(n))가 모집단 표준 편차를 표본 크기의 제곱근으로 나눈 값인 정규 분포에 근사적으로 따른다는 것을 의미합니다.

 

중심극한의 정리의 중요성은 그 널리 활용성에 있습니다. 중심극한의 정리를 통계학자와 연구자들은 원래 모집단 분포의 모양을 모르더라도 표본 평균의 분포에 대해 특정 가정을 할 수 있게 됩니다. 이는 통계적 추론(statistical inference), 가설 검정(hypothesis testing) 및 신뢰 구간을 추정(estimate of confidence interval)하는 데 중요하며, 많은 통계적 방법이 정규성 가정(hypothesis of normal distribution)에 의존하기 때문에 실무에서 이러한 통계적 기법의 기초 역할을 합니다.

 

 

 

2. Python을 이용한 중심극한정리 시뮬레이션 

 

다음은 Python을 사용해서 균등분포(uniform distribution)를 따르는 모집단(population)으로 부터 각 표본 크기가 30개인 표본을 1,000번 추출하는 시뮬레이션을 하여 각 표본의 평균을 계산하고, 표본 평균의 분포(distribution of sample mean)를 히스토그램으로 시각화해 본 것입니다. 

 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parameters
population_size = 100000  # Size of the population
sample_size = 30        # Size of each sample
num_samples = 1000      # Number of samples to generate

# Generate a non-normally distributed population (e.g., uniform distribution)
population = np.random.uniform(0, 1, population_size)

# Initialize an array to store the sample means
sample_means = []

# Generate samples and calculate means
for _ in range(num_samples):
    sample = np.random.choice(population, size=sample_size, replace=False)
    sample_mean = np.mean(sample)
    sample_means.append(sample_mean)

# Plot the population and the distribution of sample means
plt.figure(figsize=(12, 6))

# Plot the population distribution
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.hist(population, bins=30, color='blue', alpha=0.7)
plt.title('Distribution of Uniform Distribution (Population)')

# Plot the distribution of sample means
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.hist(sample_means, bins=30, color='green', alpha=0.7)
plt.title('Distribution of Sample Means')

plt.show()

 

central limit themrem simulation

 

왼쪽 히스토그램이 균등분포를 따르는 모집단의 것이고, 오른쪽 히스토그램은 균등분포를 따르는 모집단으로 부터 무작위 추출한 표본의 평균(sample mean)의 분포를 나타내는 것입니다. 오른쪽의 표본 평균의 분포는 평균 mu=(1+0)/2 = 0.5 를 중심으로 좌우 대칭의 종모양의 정규분포를 따름을 알 수 있습니다. 

 

위의 Python codes 에서 모집단(population) 을 이산형, 연속형 확률분포 별로 바꿔서 시뮬레이션을 해보시면 중심극한정리를 눈으로 확인해볼 수 있습니다. 

(가령, 베타분포의 경우 population = np.random.beta(0.8, 0.8, population_size) 처럼 수정하시면 됩니다)

 

 

 

3. 중심극한정리를 이용한 문제풀이 예시

 

중심극한정리를 이용하여 이항분포의 확률값을 정규분포로 근사해서 구할 수 있습니다. 이항분포는 n 이 비교적 작을 때 (통상 n <= 25) 정확한 확률값을 얻는데 유용하지만 n 이 클 때는 계산이 복잡해집니다. 이 경우 정규분포를 이용하여 이항분포의 확률의 근사값을 구할 수 있습니다. 즉, n이 클수록 또한 p값이 0.5에 가까울수록 이항분포는 정규분포화 유사해집니다. 이산형 확률변수 Y가 이항분포 B(n, p)를 따를 때, 이를 표준화(Z)한 후 표준정규분포 Z~N(0, 1)에 근사시킵니다. 

 

연속형 변수를 사용하여 이산형 변수를 근사할 때에는 연속성 수정계수(continuity correction factor)를 사용하여 오차를 줄입니다. 부등호에 따라 0.5를 가감함으로써 이항분포의 구간을 정규분포의 구간으로 수정합니다. 

 

[예시 문제] 한국인 성인 50%가 최소한 한 개의 신용카드를 가지고 있다고 가정하자.만일 30명의 성인을 표본추출할 때 19명에서 20명 사이의 성인이 최소한 한 개의 신용카드를 소지하고 있을 확률을
(1) 이항분포를 사용하여 구하고, 
(2) 정규근사를 사용하여 구하라. 

 

 

(1) 이항분포를 사용한 풀이

 

이산형 확률변수 Y가 최소한 한 개의 신용카드를 가지고 있을 성인의 수라고 하면, Y~B(30, 0.50)이 됩니다. 이에 대한 확률은 다음과 같이 계산합니다. 

 

이항분포를 사용한 풀이

 

 

 

(2) 정규근사를 사용한 풀이

 

Y~B(30, 0.50)일 때 E(Y)=n*p=30*0.50=15, Var(Y)=n*p*(1-p)=30(0.50)(1-0.50)=7.5 이고, 표준화의 변수를 Z라고 할 때, 이를 정규분포로 근사시킨 후 연속성 수정(+-0.5)을 하여 계산하면 다음과 같습니다. 

 

정규근사를 이용한 풀이

 

이번 포스팅이 많은 도움이 되었기를 바랍니다. 

행복한 데이터 과학자 되세요.  :-)