지난 포스팅에서는 대각행렬(diagonal matrix), 행렬의 대각화(diagonalization), 그리고 고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)를 이용 (eigenvalue-eigenvector decompositon)하여 n차 정방행렬의 p제곱을 구하는 방법을 소개하겠습니다.

 

 이번 포스팅에서는 지난번에 소개했었던 내용을 마아코프 과정 (Markov Process)에 어떻게 적용할 수 있는지에 대해서 설명해보렵니다.

 

 먼저, 마아코프 과정(Markov Process)가 무엇인지부터 알아보겠습니다. 

 

 아래의 사진은 확률론으로 유명한 러시아의 수학자 Andrei Andreyevich Markov 입니다.  Markov Process, Markov Chain 은 이 이론을 발표했던 수학자 이름을 딴 것이예요.

 

        * 사진출처 : http://www.slideshare.net/butest/hidden-markov-models-with-applications-to-speech-recognition

 

 

 불확실한 상황 하에서 의사결정을 하려면 '확률'에 기초해서 분석을 해야 합니다.  어떤 사건이 발생할 확률값이 시간에 따라 변화해 가는 과정을 확률적 과정(Stochastic Process)라고 하며, 확률적 과정 중에서 한 가지 특별한 경우가 마아코프 과정 (Markov Process) 입니다.

 

 "어떤 상태가 일정한 시간 간격으로 변하고, 다음 상태는 현재 상태에만 의존하여 확률적으로 변하는 경우, 이 상태의 변화를 마아코프 과정(Markov Process)이라 부른다.  마아코프 과정에서는 현재 상태에 따라서만 다음 상태가 결정되며, 현재 상태에 이르기까지의 과정은 전혀 고려할 필요가 없다.

 

 어떤 실제 현상이 마아코프 과정을 따르는 경우, 충분한 시간이 지난 후에 어떤 상태가 되는지를 파악하는 것이 중요한 경우가 많다"

 

 - 출처 : 박부성 지음, '8일간의 선형대수학', 경문사

 

 마아코프 과정에서 연속적인 시간 변화를 고려하지 않고 이산적인 경우만 고려한 경우를 마아코프 연쇄 (Markov Chain) 이라고 합니다. 마아코프 연쇄는 각 시행의 결과가 여러개의 미리 정해진 결과 중의 하나가 되며, 각 시행의 결과는 과거의 역사와는 무관하며 오직 바로 직전 시행의 결과에만 영향을 받는 특징(Markov Property)을 가지고 있습니다.

 

 예를 들어서 설명을 해보겠습니다.

 

 맥주 회사의 마케터라면 시장 내 주요 브랜드 간에 시장점유율이 장기간 후에 (즉, 충부난 시간이 지난 후에) 어떻게 변화할지 궁금하겠지요?  이를 확률적으로 분석해 보기 위해서 캬아쓰 맥주와 하아뜨 맥주를 구매하는 고객들의 구매 행태를 장기간에 걸쳐서 관측하여 아래와 같은 데이터를 힘들게 구했습니다.

 

 

(1) 이번 주에 캬아쓰 맥주를 구매한 고객 중 90%가 다음 주에도 캬아쓰 맥주를 구매하고, 나머지 10%는 하아뜨 맥주로 갈아탄다.

 

(2) 이번 주에 하아뜨 맥주를 구매한 고객 중 80%가 다음 주에도 여전히 하아뜨 맥주를 구매하고, 나머지 20%는 캬아쓰 맥주로 갈아타더라.

 

 

 하아뜨 맥주회사의 '처음해' 신입사원이  '깐깐해' 과장으로부터 중장기 마케팅 전략 수립을 위해 "하아뜨 맥주와 캬아쓰 맥주의 장기적인 시장점유율"을 분석해오라는 지시를 받았습니다.  점쟁이도 아닌데 어케 장기 시장점유율을 알 수 있냐고 투덜대거나 무기력하게 멍때리지 마시기 바랍니다.  우리에게는 마아코프 과정(Markov Process)으로 장기 시장점유율을 추정해 볼 수 있는 데이터가 있으니깐요.

 

 위의 예에서 고객이 구매한 맥주 브랜드는 이 고객의 상태(state)를 나타내며(이번달에 캬아쓰 샀다, 아니면 하아뜨 샀다...), 맥주 구매는 일정한 시간 간격을 두고 변하고(주마다 구매, 불금 퇴근 길에 6팩~룰루랄라~), 다음 주의 상태(state)는 현재 주의 상태(이번 달에 무슨 브랜드 맥주를 샀는가)에만 영향을 받는 확률 과정을 따르고 있습니다. 다음주의 상태를 알기 위해 저번주, 저저번주, 저저저번주에 무슨 맥주 샀는지 알 필요가 없습니다.  네, 마아코프 과정Markov Process) 되겠습니다.

 

 - 상태 (state) 1 : 캬아쓰 맥주 구매

 - 상태 (state) 2 : 하아뜨 맥주 구매

 

라고 했을 때, (장기간에 걸쳐서 관찰 조사해서 얻은, 혹은 매주 맥주를 마시는 필자의 경험과 통찰로 부터 얻은?) 이번주 구매한 맥주 브랜드에서 다음주 구매한 맥주 브랜드로의 변화 확률을 표로 정리하면 아래와 같습니다.  아래와 같은 표를 전이확률표(transition probability table) 이라고 합니다. 

 

                             다음 주

 이번 주

캬아쓰 맥주

하아뜨 맥주 

 계

캬아쓰 맥주

0.9

0.1

 1.0

하아뜨 맥주

0.2

0.8

 1.0

 

 

맥주 애호가 '알프랜'이라는 고객이 이번주에 '캬아쓰' 맥주를 구매했다고 칩시다. 그러면 '알프랜' 고객이 다음주에 '캬아쓰' 맥주와 '하아뜨' 맥주를 구매할 확률은 위의 전이확률표(transition probability table)을 가지고 계산할 수 있습니다.

 

 

 

 

 

위에서 계산한 방법을 전이확률행렬(transition probability matrix)를 가지고 아래처럼 계산 표기를 간편하게 나타낼 수 있습니다.

 

 

 

 

 

2주 후(n=2) 의 전이확률값은 아래와 같이 계산할 수 있습니다.  마아코프 과정을 따르므로 2주 후의 확률은 직전 주의 확률에만 의존하며, 그 이전의 과거는 무시합니다.  단기기억만 가지고 계산을 해도 되니 얼마나 편하고 좋습니까!

 

 

 

 

n 시간 이후의 상태확률값 계산은 아래와 같이 일반화할 수 있습니다.

 

 

 

 

 

그러면 3주 후, 4주 후, 5주 후, ..., 12주 후, ..., n -> ∞ 로 일정 주기마다 시간이 꼬박꼬박 가게 되면 장기간 후에는 아래 처럼 확률값이 수렴을 하게 됩니다.

 

 

 

 

위의 계산 결과를 보면 처음에 무슨 맥주('캬아쓰' or '하아뜨')를 구매했었느냐에 따라서 n 의 초반에는 차이가 많이 납니다. (가령, 처음에 '캬아쓰'를 샀으면 그 다음주에 캬아쓰를 살 확률은 0.9, 하지만 처음에 '하아뜨'를 샀다면 다음주에 '캬아쓰'를 살 확률은 0.2).  하지만 n이 점차 커짐에 따라서 처음에 무슨  맥주를 구매했느냐에 상관없이 점점 캬아쓰 맥주 구매 확률은 0.669로 수렴, 하아뜨 맥주 구매 확률은 0.331로 수렴함을 알 수 있습니다.  이 값을 안정상태의 확률값 (steady-state probability) 이라고 합니다. 충분히 시간이 지난 후에 장기적으로 시장 점유율이 어떤 상태가 되는지를 예측해볼 수 있게 된 것입니다.  자, 이쯤되면 '처음해' 신입사원이 '깐깐해' 과장을 좀 놀래켜줄 수 있겠지요? ^^

 

 

 

지금까지 마아코프 과정(Markov Process)의 개념과 계산 과정을 설명드렸는데요, 이게 선형대수랑 무슨 관계라는 거지? 대각화(diagonalization)로 무엇 한다는 것인지? 에 대해서 이제부터 설명을 드리겠습니다.  지난번 포스팅에서 다루었던 선형대수의 대각화 성질을 이용하면 계산을 매우 간편하게 할 수 있습니다.

 위에서 제시했던 식의 끝부분을 한번 더 써보면 아래와 같은데요, 아래 식의 오른쪽의 2차 정방행렬의 p제곱 부분을 주목해보세요.

 

 

고유값, 고유벡터가 존재하는 정방행렬의 p제곱 구하는 방법은 이전 포스팅에서 소개했었습니다. 그걸 이번 마아코프 과정 맥주 장기 시장점유율의 안정상태확률 구하는 문제에 한번 적용해보겠습니다.

 

(1) 고유값(eigenvalue) 구하기

 

 

 

 

 

(2) 고유벡터(eigenvector) 구하기

 

위에서 고유값을 먼저 구한 다음에, λ=1에 대응하는 고유벡터 V1은 아래와 같이 구합니다.

 

 

 

고유값 λ=0.7 에 대응하는 고유벡터 V2는 아래와 같이 구합니다.

 

 

상태전이확률 행렬 A = (0.9  0.2,   0.1  0.8)^T 의

고유값 λ1=1, 이에 대응하는 고유벡터 V1 = (1  1),

고유값 λ2=0.7, 이에 대응하는 고유벡터 V2 = (-1  2)

를 구했습니다.  따라서 상태전이확률 행렬 A는 아래와 같이 대각화(diagonalization)이 가능합니다.

 

 

 

 

(3) 첫 구매가 '캬아쓰' 맥주였을 때, 2주 후(n=2) 시간이 지난 후의 '캬아스 구매 확률', '하아뜨 구매 확률' 구하기

 

 

위에 계산한것을 보면 고유값, 고유벡터를 가지고 대각화해서 계산하는 것의 장점을 잘 모르겠지요?  도리어 고유값, 고유벡터 구하느라 더 난리치는거 아닌가 싶기도 하구요. 차라리 고유값, 고유벡터의 대각화를 사용안하고 그냥 저 위에서 마아코프 과정의 정의에 따라서 계산한 것이 더 간편하게 느껴지기까지 하지 않나요?

 

그러면 이번엔 2주 후(n=2)가 아니라 100주 후(n=100)의 상태확률의 변화를 계산해보는 경우는 어떨까요?  저 위에서 소개했던 방법으로 100번 반복 계산하려면 손 좀 아프겠지요?  계산 중간에 실수할 수도 있겠구요.  이걸 고유값, 고유벡터를 가지고 대각화하여 n차 제곱하는 성질을 이용하면 매우 간편하게 계산을 할 수가 있습니다.  아래에 n=100 일 때의 계산 방법 소개합니다.

 

 

(4) 첫 구매가 '캬아쓰' 맥주였을 때, 100주 후(n=100) 시간이 지난 후의 '캬아스 구매 확률', '하아뜨 구매 확률' 구하기

 

 

저~어기 위에서 처음에 계산했던 것 n -> ∞ 일 때의 상태확률 계산값이 '캬아스 0.669', '하아뜨 0.331'로 수렴했었는데요, 바로 위에서 고유값과 고유벡터의 대각화 성질을 이용해서 계산한 값도 정확히 일치하지요?

 

 

다음번 포스팅에서는 SVD(Singular Value Decomposition)에 대해서 알아보겠습니다.  이번 포스팅에서 이용한 고유값-고유벡터 분해(eigenvalue-eigenvector decomposition)이 정방행렬에 대해서만 적용이 가능한데 반해 특이값 분해 (SVD)는 m*n 행렬에 적용가능해 활용성이 매우 높은 방법이므로 기대해주세요.

 

이번 포스팅이 도움이 되었다면 아래의 '공감 ♡ 꾸욱~' 눌러주세요. ^^

 

 

저작자 표시 비영리 변경 금지
신고
크리에이티브 커먼즈 라이선스
Creative Commons License
Posted by R Friend R_Friend

지난번 포스팅에서는 행 사다리꼴(Row echelon form)과 계수(Rank)를 이용해서 선형연립방정식 해의 존재성(existence)과 유일성(uniqueness)을 알아보는 방법을 소개하였습니다.

 

이번 포스팅에서는 고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)에 대해서 알아보겠습니다.

 

필자는 경영학을 전공했었는데요, 통계학과의 다변량통계분석 과목을 (겁도 없이 무대뽀로...) 수강했었습니다.  차원축소 기법 중 하나인 요인분석(factor analysis) 시간에 고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)를 처음 접했었는데요, 그땐 당초에 무슨 소리인지 교수님의 강의를 하나도 못 알아들었습니다.  지금 보면 그냥 이해가 되고 어려워 보이지 않는데요, 그땐 참 소련말처럼 들리고 어렵더라고요. ^^;;; 

 

요즘 회사에서 제조업쪽에 분석 사례 관련 논문을 자주 찾아보는 편인데요, 왠만한 논문에는 고유값(eigenvalue)과 고육벡터(eigenvector) 표기를 마주치곤 합니다.  그만큼 아주 중요하고 많이 쓰이는 개념입니다.

 

다소 단순하게 보이는 벡터 방정식 "정방행렬 A에 대해 Ax = λx "로부터 놀랄만큼 많은 관련 이론과 풍부한 응용예가 유도된다. 실제로 공학, 물리학, 기하학, 수치해석, 이론수학, 생물학, 환경과학, 도시계획, 경제학, 심리학 등 많은 분야에서 고유값 문제가 나타난다

 

- Erwin Keryszig, 선형대수와 벡터 미적분학, 범함서적주식회사

 

자, 그럼 고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)의 정의에 대해서 부터 시작하시지요.

 

 

 

정방행렬 A에 대하여 Ax = λx  (상수 λ) 가 성립하는 0이 아닌 벡터 x가 존재할 때
상수 λ 를 행렬 A의 고유값 (eigenvalue), x 를 이에 대응하는 고유벡터 (eigenvector) 라고 합니다.  

 

 

 

 

행렬 A에 대한 고유값(eigenvalue) λ ("Lambda", "람다" 라고 읽음)은 특성값(characteristic value), 또는 잠정근(latent root) 라고도 합니다. (eigen은 '고유' 또는 '특성'을 뜻하는 독일어임. '아이겐'이라고 읽음)

 

Ax = λx 를 만족하는 0이 아닌 고유벡터(eigenvector) x 는 특성벡터(characteristic vector) 라고도 합니다.

 

그리고 행렬 A의 모든 고유값의 집합을 A의 스펙트럼(spectrum) 이라고 하며, 최대로 서로 다른 n개의 고유값을 가질 수 있습니다.  A의 고유값의 절대값의 최대값을 A의 스펙트럼 반경 (spectrum radius)라고 합니다.

 

이때 행렬 A는 n*n 정방행렬(square matrix) 이라는 점 다시 한번 상기하시구요, Ax = λx를 만족하는 모든 상수 λ와 0이 아닌 모든 벡터 x (1개 ~ 최대 n 개)를 찾는 것이 우리가 할 일입니다.  

 

 

좀더 쉽게 이해할 수 있도록 고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)가 가지는 의미를 아래의 예를 들어서 설명하겠습니다.

 

 

 정방행렬 A

(square matrix A)

 

  고유값 λ

(eigenvalue)

λ = 7 

λ = 2 

 고유벡터 x

(eigenvector)

 

 

 

 

 

 

 

고유값(eigenvalue)와 고유벡터(eigenvector)의 기하학적인 의미를 살펴보면, 벡터 x에 대해 n차 정방행렬 A를 곱하는 결과와 상수 λ를 곱하는 결과가 같다는 의미입니다. 즉, 행렬의 곱의 결과가 원래 벡터와 "방향"은 같고, "배율"만 상수 λ 만큼만 비례해서 변했다는 의미입니다.  이게 고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)가 무척 중요한 이유입니다.  행렬과 벡터 곱을 했더니 "방향"도 바뀌고 "크기(배율)"도 모두 바뀌는 것과, "방향"은 그대로 있고 "크기(배율)"만 바뀌는 것 중에 뭐가 연산이 간단할 지 생각해보시면 됩니다.  

아래의 2차 정방행렬 A=(4,3   2, 5) 에 의해 대응되는 선형사상 f에 의한 c1(2, 3)+c2(-1, 1) 의 상을 가지고 기하학적인 의미의 예를 들어보겠습니다. 

 

 

 

 

위의 결과를 좌표에 나타내보면 아래와 같습니다.  좀 복잡해보이긴 하는데요, 화살표의 eigenvector (2, 3), (-1, 1)의 R^2 공간이 정방행렬 A=(4, 3   2, 5)에 의해서 오른쪽 R^2 공간으로 변환될 때 "방향"은 똑같고, "배율"만 eigenvalue λ 배수 (7배, 2배) 만큼 변했다는 것을 알 수 있습니다.  

 

왼쪽의 A, B, C, D, E 의 좌표점들이 오른쪽에는 A', B', C', D', E' 로 정방행렬 A=(4, 3   2, 5)에 의해 변환되었습니다. 계산 예시로 B (2, 3) -> B' (14, 21)와 D (-1, 1) -> D' (-2, 2) 만 아래 그래프 위에 겹쳐서 제시해보았습니다.

 

 

 

 

 

좀더 직관적으로 이해할 수 있도록 아래에 사람 얼굴()이 어떻게 변환되는지 겹쳐서 제시해보았습니다.  eigenvector의 방향은 똑같고 (same direction), 크기만 eigenvalue 만큼씩 배수(magnification)가 되었습니다.

 

 

 

이제 고유값(eigenvalue)와 고유벡터(eigenvector)의 정의와 기하학적인 의미에 대해서는 이해가 좀 되시는지요?

 

행렬식이랑 좌표에 그림 그리려니 시간이 어마무시 걸리네요. ㅜ_ㅜ  

아... 봄날의 토요일 오후가 그냥 가버렸어요... 흑...

 

다음번 포스팅에서는 고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)를 구하는 방법에 대해서 소개하도록 하겠습니다.

 

이번 포스팅이 도움이 되었다면 아래의 공감 ♡ 꾸욱~ 눌러주세요. ^^

 

저작자 표시 비영리 변경 금지
신고
크리에이티브 커먼즈 라이선스
Creative Commons License
Posted by R Friend R_Friend

지난번 포스팅에서는 벡터공간(vector space), 벡터 부분공간(vector subspace), 생성공간(span), 차원(dimension)에 대해서 알아보았습니다.

 

이번 포스팅에서는 선형사상(linear map)에 대해서 소개하겠습니다.

선형사상(linear map)은 두 벡터공간 사이에 정의되는 사상(베낄 사 寫 형상 상 像, map) 가운데 벡터공간의 성질을 보존하는, 즉 선형성을 갖는 함수를 말합니다. 선형변환(linear transform) 이라고도 합니다.

 

두 벡터공간 V와 W에 대하여 선형사상 f : V -> W 라고 하면, 아래의 두가지 조건(벡터의 합, 스칼라 곱 조건)을 만족하는 사상입니다.

 

[선형성(linearity) 조건] 

(1) 벡터의 합 조건 : f(v1 + v2) = f(v1) + f(v2)

(2) 스칼라 곱 조건 : f(cv) = cf(v), 단 c는 임의의 실수

 

 

 

 

사상 f가 R^n에서 R^m으로의 선형사상인 경우에, f를 m*n 행렬에 의해 정해지는 R^n에서 R^m으로의 선형사상이라고 합니다.

 

 

 

 

벡터공간 R^n과 R^m 사이의 모든 선형사상(linear map)은 행렬(matrix)을 이용해서 나타낼 수 있으며, 또 행렬은 선형일차연립방정식(system of linear equations)으로 나타낼 수 있습니다. 유한차원 벡터공간 사이의 선형 연산을 연구하고 싶다면, 행렬을 보면 된다는 뜻입니다. 

 

선형일차연립방정식 - 행렬 - 선형사상의 관계를 아래의 3개의 x변수와 2개의 y변수를 가지는 선형일차연립방정식, 2*3 행렬, R^3에서 R^2로의 선형사상 f 의 예를 들어보겠습니다.

 

 

 

 

 

 

m*n 행렬에 의해 R^n에서 R^m 으로의 선형사상의 간단한 몇 가지 경우를 나타내보면 아래와 같습니다.

m*n 행렬의 m, n 순서와 R^n에서 R^m으로의 선형사상의 n, m 순서에 유의하시기 바랍니다.

 

 

 

 

다음번 포스팅에서는 핵(kernel), 상공간(image), 차원정리(Dimension Theorem)에 대해서 알아보겠습니다.

 

이번 포스팅이 도움이 되었다면 아래의 공감 ♡ 꾸욱~ 눌러주세요. ^^

 

 

 

 

저작자 표시 비영리 변경 금지
신고
크리에이티브 커먼즈 라이선스
Creative Commons License
Posted by R Friend R_Friend

지난번 포스팅에서 선형독립 또는 1차 독립 (linearly independent), 선형종속 또는 1차 종속 (linearly dependent) 에 대해서 알아보았습니다.

 

이번 포스팅에서는 기저 (basis)와 차원 (dimension)에 대해서 알아보겠습니다.  선형독립의 정의를 알지못하면 기저를 이해할 수 없으며, 선형독립과 기저의 개념이 헷갈릴 수도 있습니다. 따라서 혹시 선형독립(linearly independent)에 대해서 잘 모르고 있거나 가물가물하다면 이전 선형독립 포스팅을 다시 한번 살펴보시길 바랍니다.

(☞ 선형독립(linearly independent), 선형종속(linearly dependent) 바로가기)

 

 

기저(basis, 基底)란 어떤 벡터공간 V의 벡터들이 선형독립이면서 벡터공간 V 전체를 생성할 수 있다면 이 벡터들의 집합을 말합니다.  다른 말로 표현하자면, 기저는 "R^m의 임의의 원소를 표현하기 위해 필요한 최소한의 벡터로 이루어진 집합"입니다.

 

 

[ 기저의 정의 (definition of basis) ]

 

 

 

 

 

위의 정의에 따라, 기저인 예와 기저가 아닌 예를 아래에 들어보겠습니다.  실제 예를 보시면 이해가 좀더 쉬울 것입니다.

 

  • 기저인 예 (example of a basis)

     : 2 차원 (2 dimension)

 

 

 

 

  : 3차원 (3 dimension)

 

 

 

 

  • 기저가 아닌 예 (not a basis)

   : 2차원 (2 dimension)

     --> 2차원의 임의의 원소를 표현하는데 필요한 최소한의 벡터는 2개인데 반해, 아래의 예는 4개의 벡터로 구성되어 있으므로 군더더기 벡터가 2개나 더 있는 셈입니다.  그러므로 "m차원의 임의의 원소를 표현하기 위해 필요한 최소의 벡터로 이루어진 집합"인 기저(basis)가 아닌 것입니다.

 

 

 

 

 

 

   : 3차원 (3 dimension)

  --> 3차원의 임의의 원소를 표현하기 위해서 필요한 최소한의 벡터는 3개인데요, 아래의 예는 3개의 벡터로 되어 있으므로 위의 2차원 예와는 조금 다른 경우입니다. 아래의 예는 3개 벡터의 세번째 원소가 모두 '0'으로 되어 있어서 3차원의 세번째 차원을 표현할 방법이 없으므로 기저가 아닌 경우입니다. 즉, 위의 2차원 예에서는 해가 2개 이상이어서 기저가 아닌 경우이며, 아래의 3차원 예의 경우는 해가 아예 하나도 존재하지 않기 때문에 기저가 아닌 경우입니다.  물론, 위의 2차원 예에서처럼 3차원(R^3)인데 원소가 '0'이 아닌 벡터가 3개를 초과한다면 군더더기 벡터가 존재하게 되어 기저가 아니게 되겠지요.

 

 

 

 

 

 

아래의 R^3의 두 벡터 (1, 0, 0), (0, 1, 0) 역시 기저가 아닙니다.  3차원의 임의의 원소를 표현하기 위한 최소한의 벡터 개수는 3개인데 반해 2개 밖에 없어서 1개가 모자라기 때문입니다. 세번째 차원의 원소 (0, 0, 1)을 표현할 방법이 없으므로 기저의 정의를 만족시키지 못합니다.

  

 

 

 

바로 위의 예가 기저가 아니라고 했는데요, 그러면 R^3의 두 벡터 (1, 0, 0), (0, 1, 0)은 선형독립일까요?  선형독립이지요.  기저는 아닌데 선형독립인 예입니다.

 

 

 

 

 

아래에 선형독립과 기저의 정의를 복습하는 의미에서 다시 한번 정리하여 보았습니다.  선형독립(linearly independent)은 제로벡터(zero vector) (0, 0, ..., 0)에 한정된 개념인데 반해, 기저(basis)s는 R^m (m dimension)의 모든 벡터를 대상으로 하는 개념입니다.

 

 

[ 선형독립 vs. 기저  정의 (definition of linearly independent and basis) ]

 

 

 

 

벡터공간, 부분공간, 차원(dimension)에 대해서는 나중에 추가로 덧붙여서 설명하겠습니다.

 

이번 포스팅이 도움이 되었다면 아래의 공감 ♡ 꾸욱~ 눌러주세요. ^^

 

 

 

저작자 표시 비영리 변경 금지
신고
크리에이티브 커먼즈 라이선스
Creative Commons License
Posted by R Friend R_Friend

이번 포스팅에서는 선형독립 혹은 1차 독립(linearly independent)과 선형종속 혹은 1차 종속(linearly dependent)에 대해서 알아보겠습니다. 

 

선형독립 혹은 1차 독립 (linearly independent) 개념은 나중에 이어서 소개할 기저(base)와 차원(dimension), 행렬의 계수(rank)와 선형연립방정식의 존재성(existence), 유일성(uniqueness), 가우스 소거법(Gauss Jordan Elimination)과의 관계 등에 줄줄이 연관이 되어있으므로 정확히 이해하는 것이 필요합니다.  선형독립에 대한 이해가 집의 주춧돌인 셈입니다.  집을 지을 때 주춧돌이 부실하면 나중에 집이 무너지는 수가 있습니다.  차원을 정의하고 선형연립방정식 푸는데 가장 밑에 받쳐주는 개념이 선형독립(linearly independent) 개념이므로 배워야 합니다.  

 

 

[ 선형독립과 선형대수의 관계 ]

(relation between linearly independent/dependent and linear algebra)

 

 

 

 

 

 

다변량통계분석 책을 보면 선형독립(linearly independent) 개념이 텍스트로만 해서 3~5줄로 설명이 되어있습니다. 그래서 선형대수를 따로 배우지 않은 분이라면 처음에는 이게 뭔소리인가 하고 이해하기 매우 힘들것 같습니다. 어디에 쓰는지, 왜 배우는지도 잘 모를것 같기도 하구요. 하지만 처음에는 이해가 잘 안되더라도 중요한 개념이므로 2번, 3번 계속 읽어보시고 다른 자료도 찾아서 공부해두시면 좋겠습니다.  (공과 대학원 준비하는 분이라면 행렬의 계수(rank)를 비롯한 선형대수 문제는 구술시험 반드시 나온다에 500원 걸겠습니다. 그만큼 중요하다는 얘기입니다.)  선형독립(linearly independent) 정의가 다음번에 포스팅할 기저(base)와 좀 헷갈릴 수 가 있으므로 정확히 이해하시기 바랍니다.

 

텍스트로 선형독립(linearly independent)을 정의하면 아래와 같습니다. 좀 어렵지요? ^^;

 

 

 

 

위의 텍스트 정의와 똑같은데요, 이걸 좀더 쉽게 풀어서 벡터를 직접 입력해서 다시 한번 설명하자면 아래와 같습니다. 

 

 

 

 

선형독립의 개념을 좀더 쉽게 이해할 수 있도록 아래에 기하하적인 해석을 덧붙여서 선형독립인 예와 선형종속인 예를 몇 개 들어보겠습니다. 

 

 

(1) R^2 의 두 벡터 (1, 0), (0, 1)은 선형독립임.

 

 

 

 

(2) R^3 의 두 벡터 (1, 0, 0), (0, 1, 0) 은 선형독립임.

 

 

 

 

 

(3) R^3의 세 벡터 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)은 선형독립임.

 

 

 

 

아래는 선형종속(linearly dependent) 예입니다.

 

(4) R^3 의 세 벡터 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (2, 1, 0)은 선형종속임.

 

 

 

 

제로벡터 (0, 0, 0) 에 대한 R^3 의 세 벡터 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (2, 1, 0)의 해가 (c1=0, c2=0, c3=0) 말고도 (c1=2, c2=1, c3=-1), (c1=-2, c2=-1, c3=1) 등도 추가로 더 있으므로 선형종속 혹은 1차 종속 (linearly dependent)가 됩니다. 

 

해 (c1=2, c2=1, c3=-1) 을 좌표로 그려보면 아래와 같습니다. 돌고, 돌고, 돌아서 제로벡터 (0, 0, 0)으로 돌아왔음을 알 수 있습니다.

 

 

 

 

또 다른 해 (c1=2, c2=-1, c3=1) 을 좌표로 그려보면 아래와 같습니다.  이 해 역시 돌고, 돌고, 돌아서 제로벡터 (0, 0, 0)으로 돌아왔음을 알 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

(5) R^3 의 네 벡터 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (2, 2, 2)는 선형종속임.

 

 

 

위의 R^3의 네 벡터에 대한 해 (c1=2, c2=2, c3=2, ㅊ4=-1) 을 좌표로 그려보면 아래와 같습니다.  이 해 역시 돌고, 돌고, 돌아서 제로벡터 (0, 0, 0)으로 돌아왔음을 알 수 있습니다.  좌표의 이동 경로가 좀 헷갈릴 수도 있는데요, 색깔을 참조해서 유심히 살펴보시기 바랍니다.

 

 

 

수식 입력이랑 그래프 그리다보니 시간 엄청 걸리네요. 헉, 헉... ^^;

 

다음 포스팅에서는 기저(base)에 대해서 소개하고, 선형독립과 비교를 해보겠습니다.

 

이번 포스팅이 도움이 되었다면 아래의 공감 ♡ 꾸욱~ 눌러주세요. ^^

 

 

저작자 표시 비영리 변경 금지
신고
크리에이티브 커먼즈 라이선스
Creative Commons License
Posted by R Friend R_Friend


티스토리 툴바