[선형대수] 핵(核, kernel Ker f), 상(像, image, Im f), 차원정리(dimension theorem)

지난번 포스팅에서는 선형사상(linear map) 또는 다른 말로 선형변형(linear transformation)에 대해서 알아보았습니다.

 

간략히 복기해보자면, 두 벡터공간 V와 W 사이의 선형사상 f : V -> W 에 에 대하여, 선형사상의 상(image)으로 만들어진 집합 f(V) = {f(v) | v ∈ V }는 W의 부분집합이며, f(V)는 W의 부분공간이 됩니다.

 

이번 포스팅에서는 사상 f의 핵(kernel), 사상 f의 상공간(image), 그리고 핵과 상공간의 차원의 관계에 대한 차원정리(dimension theorem)에 대해서 소개하겠습니다.

 

 

• 사상 f의 핵 (核, kernel), 『Ker f』

f를 m*n 행렬에 의해 R^n에서 R^m으로의 선형사상이라고 했을 때, 상(像, image)이 제로벡터(zero vector)가 되는 원소의 집합을 '사상 f의 핵(核, kernel)'이라고 하며, 『Ker f』 라고 표기합니다. 핵을 영공간(零空間, null space)이라고도 합니다.

 

ker f = { v ∈ V | f(v) = 0 }

 

 

 

 

 

• 사상 f의 상 (像, image), Im f

유한 차원 벡터공간 V에서 정의되는 선형사상 f : V -> V 에 대해, 사상 f가 모든 원소를 자기 자신으로 보낼 때 사상 f의 상(像, image)라고 하며, 『Im f』 로 표기합니다.

 

Im f = { f(v) | v ∈ V }

 

 

 

 

위의 핵과 상의 정의를 보고서 잘 이해가 안가는 분은 아래의 핵 Ker f와 상 Im f 의 관계를 Diagram 을 보면 좀더 쉽게 이해가 갈 거 같습니다.  

 

 

 

 

• 차원정리 (dimension theorem)

Ker f 는 R^n 의 부분공간이며, Im f 는 R^m 의 부분공간일 때, dim(Ker f)와 dim(Im f) 사이에는 아래의 관계가 성립합니다. 

 

dim(V) = dim(Ker f) + dim(Im f)

 

위의 다이어그램을 보면 dim(V) = n, dim(Ker f) = k, dim(In f) = (n - k) 이므로, 이를 차원정리에 대입해보면 아래와 같습니다.

 

dim(V) =  dim(Ker f) + dim(Im f)          n =             k +     (n-k)  =  n

 

이 차원정리를 이용하면 dim(Ker f) 또는 dim(Im f) 중에서 하나를 알면 나머지 하나를 계산할 수 있습니다.

 

 

다음번 포스팅에서는 진짜로 진짜로 중요한 계수(RANK)를 알아보겠습니다.

 

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