[선형대수] 선형사상(linear map), 선형변환(linear transform)

지난번 포스팅에서는 벡터공간(vector space), 벡터 부분공간(vector subspace), 생성공간(span), 차원(dimension)에 대해서 알아보았습니다.

 

이번 포스팅에서는 선형사상(linear map)에 대해서 소개하겠습니다.

선형사상(linear map)은 두 벡터공간 사이에 정의되는 사상(베낄 사 寫 형상 상 像, map) 가운데 벡터공간의 성질을 보존하는, 즉 선형성을 갖는 함수를 말합니다. 선형변환(linear transform) 이라고도 합니다.

 

두 벡터공간 V와 W에 대하여 선형사상 f : V -> W 라고 하면, 아래의 두가지 조건(벡터의 합, 스칼라 곱 조건)을 만족하는 사상입니다.

 

[선형성(linearity) 조건] 

(1) 벡터의 합 조건 : f(v1 + v2) = f(v1) + f(v2)

(2) 스칼라 곱 조건 : f(cv) = cf(v), 단 c는 임의의 실수

 

 

 

 

사상 f가 R^n에서 R^m으로의 선형사상인 경우에, f를 m*n 행렬에 의해 정해지는 R^n에서 R^m으로의 선형사상이라고 합니다.

 

 

 

 

벡터공간 R^n과 R^m 사이의 모든 선형사상(linear map)은 행렬(matrix)을 이용해서 나타낼 수 있으며, 또 행렬은 선형일차연립방정식(system of linear equations)으로 나타낼 수 있습니다. 유한차원 벡터공간 사이의 선형 연산을 연구하고 싶다면, 행렬을 보면 된다는 뜻입니다. 

 

선형일차연립방정식 - 행렬 - 선형사상의 관계를 아래의 3개의 x변수와 2개의 y변수를 가지는 선형일차연립방정식, 2*3 행렬, R^3에서 R^2로의 선형사상 f 의 예를 들어보겠습니다.

 

 

 

 

 

 

m*n 행렬에 의해 R^n에서 R^m 으로의 선형사상의 간단한 몇 가지 경우를 나타내보면 아래와 같습니다.

m*n 행렬의 m, n 순서와 R^n에서 R^m으로의 선형사상의 n, m 순서에 유의하시기 바랍니다.

 

 

 

 

다음번 포스팅에서는 핵(kernel), 상공간(image), 차원정리(Dimension Theorem)에 대해서 알아보겠습니다.

 

이번 포스팅이 도움이 되었다면 아래의 공감 ♡ 꾸욱~ 눌러주세요. ^^