지난번 포스팅에서 선형독립 또는 1차 독립 (linearly independent), 선형종속 또는 1차 종속 (linearly dependent) 에 대해서 알아보았습니다.
이번 포스팅에서는 기저 (basis)와 차원 (dimension)에 대해서 알아보겠습니다. 선형독립의 정의를 알지못하면 기저를 이해할 수 없으며, 선형독립과 기저의 개념이 헷갈릴 수도 있습니다. 따라서 혹시 선형독립(linearly independent)에 대해서 잘 모르고 있거나 가물가물하다면 이전 선형독립 포스팅을 다시 한번 살펴보시길 바랍니다.
(☞ 선형독립(linearly independent), 선형종속(linearly dependent) 바로가기)
기저(basis, 基底)란 어떤 벡터공간 V의 벡터들이 선형독립이면서 벡터공간 V 전체를 생성할 수 있다면 이 벡터들의 집합을 말합니다. 다른 말로 표현하자면, 기저는 "R^m의 임의의 원소를 표현하기 위해 필요한 최소한의 벡터로 이루어진 집합"입니다.
[ 기저의 정의 (definition of basis) ]
위의 정의에 따라, 기저인 예와 기저가 아닌 예를 아래에 들어보겠습니다. 실제 예를 보시면 이해가 좀더 쉬울 것입니다.
- 기저인 예 (example of a basis)
: 2 차원 (2 dimension)
: 3차원 (3 dimension)
- 기저가 아닌 예 (not a basis)
: 2차원 (2 dimension)
--> 2차원의 임의의 원소를 표현하는데 필요한 최소한의 벡터는 2개인데 반해, 아래의 예는 4개의 벡터로 구성되어 있으므로 군더더기 벡터가 2개나 더 있는 셈입니다. 그러므로 "m차원의 임의의 원소를 표현하기 위해 필요한 최소의 벡터로 이루어진 집합"인 기저(basis)가 아닌 것입니다.
: 3차원 (3 dimension)
--> 3차원의 임의의 원소를 표현하기 위해서 필요한 최소한의 벡터는 3개인데요, 아래의 예는 3개의 벡터로 되어 있으므로 위의 2차원 예와는 조금 다른 경우입니다. 아래의 예는 3개 벡터의 세번째 원소가 모두 '0'으로 되어 있어서 3차원의 세번째 차원을 표현할 방법이 없으므로 기저가 아닌 경우입니다. 즉, 위의 2차원 예에서는 해가 2개 이상이어서 기저가 아닌 경우이며, 아래의 3차원 예의 경우는 해가 아예 하나도 존재하지 않기 때문에 기저가 아닌 경우입니다. 물론, 위의 2차원 예에서처럼 3차원(R^3)인데 원소가 '0'이 아닌 벡터가 3개를 초과한다면 군더더기 벡터가 존재하게 되어 기저가 아니게 되겠지요.
아래의 R^3의 두 벡터 (1, 0, 0), (0, 1, 0) 역시 기저가 아닙니다. 3차원의 임의의 원소를 표현하기 위한 최소한의 벡터 개수는 3개인데 반해 2개 밖에 없어서 1개가 모자라기 때문입니다. 세번째 차원의 원소 (0, 0, 1)을 표현할 방법이 없으므로 기저의 정의를 만족시키지 못합니다.
바로 위의 예가 기저가 아니라고 했는데요, 그러면 R^3의 두 벡터 (1, 0, 0), (0, 1, 0)은 선형독립일까요? 선형독립이지요. 기저는 아닌데 선형독립인 예입니다.
아래에 선형독립과 기저의 정의를 복습하는 의미에서 다시 한번 정리하여 보았습니다. 선형독립(linearly independent)은 제로벡터(zero vector) (0, 0, ..., 0)에 한정된 개념인데 반해, 기저(basis)s는 R^m (m dimension)의 모든 벡터를 대상으로 하는 개념입니다.
[ 선형독립 vs. 기저 정의 (definition of linearly independent and basis) ]
벡터공간, 부분공간, 차원(dimension)에 대해서는 나중에 추가로 덧붙여서 설명하겠습니다.
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