벡터로 점, 축, 직선, 평면, 3차원 공간, n차원 공간 표현하기 (representing n dimensional space by vector)

이전 포스팅에서 벡터는 "힘(magnitude)"과 "방향(direction)"을 가진 양이라고 정의를 했습니다. 이번 포스팅에서는 벡터를 가지고 점(dot), 축(axis), 직선(line), 평면(space), 3차원 공간(3 dimensional space), n차원 공간(n dimensional space)를 나타내는 방법을 알아보겠습니다.

 

앞으로 선형독립, 기저, 랭크(RANK), 고유값(Eigen value), 고유벡터(Eigen vector) 등에 대해서 소개할 텐데요, 이번 시간은 잠깐 쉬어가면서 기본 개념을 잡아보는 시간을 생각하면 좋겠습니다. 

 

3차원까지는 이해가 가는데 n차원이라고 하면 이게 무슨 소리인지, 벡터로는 어떻게 표현하는지, 다차원분석을 한다고 하는데 n차원으로 생각한다는 것이 무엇인지 조금이나마 감을 잡는데 이번 포스팅이 도움이 되면 좋겠습니다. 

 

단위벡터(unit vector)를 사용해서, 상수 c와 단위벡터의 곱의 집합으로 표현합니다.  벡터를 사용해서 파동 곡선 함수라든지 타원형 함수 등도 표현할 수 있습니다는 정도만 알아두시구요, 상세 내용은 sine, cosine 등의 삼각함수도 나오고 해서 좀 어려울듯 하니 생략하겠습니다.

 

• 벡터로 점 표현하기 (representing a dot by a vector)

 점(3, 0)과 점(0, 3)을 벡터로 나타내면 아래와 같습니다.

 

 

 

 

 

• 벡터로 축 표현하기 (representing an axis by a vector)

 x1축과 x2축을 각 각 벡터로 나타내면 아래와 같습니다.

 

 

 

 

 

• 벡터로 직선 표현하기 (representing a line by vector)

x1 = 4인 직선을 벡터로 나타내보겠습니다.

 

 

 

 

x2 = 5인 직선을 벡터로 나타내면 아래와 같습니다.

 

 

• 벡터로 2차원 평면 표현하기 (representing 2 dimensional space by vector)

x1 축과 x2 축에 수평인 벡터로 이루어진 2차원 평면입니다.  

 

 

 

 

단위벡터가 아닌 벡터를 사용해도 2차원 평면을 표현할 수 있습니다.  중/고등학교 때 좌표 개념을 배울 때는 단위벡터를 가정합니다.  그렇다보니 아래처럼 단위벡터가 아닌 벡터를 사용한 2차원 평면 좌표에 대해서는 굉장히 낯설게 느껴질 것 같습니다.  그런데 나중에 벡터, 선형사상을 가지고 확대나 회전,  평형이동 등에 활용할 때 아래의 예시 개념을 활용합니다.  게임 개발하거나 CAD 설계 하는 분이라면 일상적으로 사용하는 개념입니다.

 

 

• 벡터로 3차원 공간 표현하기 (representing 3 dimensional space by vector)

 

 

 

 

 

 

• 벡터로 n차원 공간 표현하기 (representing n dimensional space by vector)

4차원 이상의  n차원 공간을 상상하기가 쉽지 않을텐데요, 이를 벡터의 집합으로 표현하면 아래와 같습니다. 2차원, 3차원 공간을 벡터로 표현했던 위의 집합을 보면 n차원의 벡터 표현도 이해가 될 것입니다.

 

 

다음번 포스팅에서는 차원(dimension)을 정의하는데 꼭 필요한 개념인 선형독립(linear independence), 선형종속(linear dependence)에 대해서 알아보겠습니다.

 

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