이번 포스팅에서는 시간과 비용 문제로 전수 조사를 못하므로 표본 조사를 해야 할 때, 기계학습 할 때 데이터셋을 훈련용/검증용/테스트용으로 샘플링 할 때, 또는 다양한 확률 분포로 부터 데이터를 무작위로 생성해서 시뮬레이션(simulation) 할 때 사용할 수 있는 무작위 난수 만들기(generating random numbers, random sampling)에 대해서 알아보겠습니다.

 

Python NumPy는 매우 빠르고(! 아주 빠름!!) 효율적으로 무작위 샘플을 만들 수 있는 numpy.random 모듈을 제공합니다. 

 

 

 

 

NumPy 를 불러오고, 정규분포(np.random.normal)로 부터 개수가 5개(size=5)인 무작위 샘플을 만들어보겠습니다. 무작위 샘플 추출을 할 때마다 값이 달라짐을 알 수 있습니다.

 

 

 

In [1]: import numpy as np


In [2]: np.random.normal(size=5)

Out[2]: array([-0.02030555, 0.38279633, -1.02369692, 1.48083476, -0.44058273])


In [3]: np.random.normal(size=5) # array with different random numbers

Out[3]: array([ 1.11942454, -1.03486318, 1.69015608, -0.43601241, -1.52195043])

 

 

 

 

먼저, seed와 size 모수 설정하는 것부터 소개합니다.

 

  seed : 난수 생성 초기값 부여

 

난수 생성 할 때 마다 값이 달라지는 것이 아니라, 누가, 언제 하든지 간에 똑같은 난수 생성을 원한다면 (즉, 재현가능성, reproducibility) seed 번호를 지정해주면 됩니다.

 

 

# seed : setting the seed number for random number generation for reproducibility

In [4]: np.random.seed(seed=100)


In [5]: np.random.normal(size=5)

Out[5]: array([-1.74976547, 0.3426804 , 1.1530358 , -0.25243604, 0.98132079])

 


# exactly the same with the above random numbers

In [6]: np.random.seed(seed=100)


In [7]: np.random.normal(size=5) # 위의 결과랑 똑같음

Out[7]: array([-1.74976547, 0.3426804 , 1.1530358 , -0.25243604, 0.98132079])

 

 

 

 

  size : 샘플 생성(추출) 개수 및 array shape 설정

 

다차원의 array 형태로 무작위 샘플을 생성할 수 있다는 것도 NumPy random 모듈의 장점입니다.

 

 

# size : int or tuple of ints for setting the shape of nandom number array

In [8]: np.random.normal(size=2)

Out[8]: array([ 0.51421884, 0.22117967])


In [9]: np.random.normal(size=(2, 3))

Out[9]:

array([[-1.07004333, -0.18949583, 0.25500144],

        [-0.45802699, 0.43516349, -0.58359505]])


In [10]: np.random.normal(size=(2, 3, 4))

Out[10]:

array([[[ 0.81684707, 0.67272081, -0.10441114, -0.53128038],

         [ 1.02973269, -0.43813562, -1.11831825, 1.61898166],

         [ 1.54160517, -0.25187914, -0.84243574, 0.18451869]],


        [[ 0.9370822 , 0.73100034, 1.36155613, -0.32623806],

         [ 0.05567601, 0.22239961, -1.443217 , -0.75635231],

         [ 0.81645401, 0.75044476, -0.45594693, 1.18962227]]])

 

 

 

 

다양한 확률 분포로부터 난수를 생성해보겠습니다.  먼저, 정수를 뽑는 이산형 확률 분포(discrete probability distribution)인 (1-1) 이항분포, (1-2) 초기하분포, (1-3) 포아송분포로 부터 무작위 추출하는 방법을 알아보겠습니다.

 

각 확률분포에 대한 설명까지 곁들이면 포스팅이 너무 길어지므로 참고할 수 있는 포스팅 링크를 걸어놓는 것으로 갈음합니다.

 

- 이항분포 (Binomial Distribution) :  http://rfriend.tistory.com/99

- 초기하분포 (Hypergeometric distribution) :  http://rfriend.tistory.com/100

- 포아송 분포 (Poisson Distribution) :  http://rfriend.tistory.com/101

 

 

  (1-1) 이항분포로 부터 무작위 표본 추출 (Random sampling from Binomial Distribution) : np.random.binomial(n, p, size)

 

앞(head) 또는 뒤(tail) (n=1) 가 나올 확률이 각 50%(p=0.5)인 동전 던지기를 20번(size=20) 해보았습니다. 

 

 

# (1) 이산형 확률 분포 (Discrete Probability Distribution)
# (1-1) 이항분포 (Binomial Distribution) : np.random.binomial(n, p, size)
#       : 복원 추출 (sampling with replacement)
#       : n an integer >= 0 and p is in the interval [0,1]

 

In [11]: np.random.binomial(n=1, p=0.5, size=20)

Out[11]: array([0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1])


In [12]: sum(np.random.binomial(n=1, p=0.5, size=100) == 1)/100

Out[12]: 0.46999999999999997

 

 

 

 

 (1-2) 초기하분포에서 무작위 표보 추출 (Random sampling from Hypergeometric distribution) : np.random.hypergeometric(ngood, nbad, nsample, size)

 

good 이 5개, bad 가 20개인 모집단에서 5개의 샘플을 무작위로 비복원추출(random sampling without replacement) 하는 것을 100번 시뮬레이션 한 후에, 도수분포표를 구해서, 막대그래프로 나타내보겠습니다.

 

 

# (1-2) 초기하분포 (Hypergeometric distribution)
#       : 비복원 추출(sampling without replacement)
#       : np.random.hypergeometric(ngood, nbad, nsample, size=None)

 

In [13]: np.random.seed(seed=100)


In [14]: rand_hyp = np.random.hypergeometric(ngood=5, nbad=20, nsample=5, size=100)


In [15]: rand_hyp

Out[15]:

array([1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 3, 0, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 3, 2,
        0, 0, 0, 1, 3, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2,
        1, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 0,
        2, 0, 1, 2, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 0, 0, 2, 1, 1,
        1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 0])

 


# result table of 100 simulation

In [16]: unique, counts = np.unique(rand_hyp, return_counts=True)


In [17]: np.asarray((unique, counts)).T

Out[17]:

array([[ 0, 27],
        [ 1, 53],
        [ 2, 16],
        [ 3,  4]], dtype=int64)

 

# bar plot

 In [18]: import matplotlib.pyplot as plt


In [19]: plt.bar(unique, counts, width=0.5, color="blue", align='center')

Out[19]: <Container object of 4 artists>

 

 

 

 

 

 

 

  (1-3) 포아송분포로 부터 무작위 표본 추출 : np.random.poisson(lam, size)

         (random sampling from Poisson distribution)

 

일정한 단위 시간, 혹은 공간에서 무작위로 발생하는 사건의 평균 회수인 λ(lambda)가 20인 포아송 분포로 부터 100개의 난수를 만들어보겠습니다. 그 후에 도수를 계산하고, 막대그래프로 분포를 그려보겠습니다.

 

 

# (1-3) 포아송 분포 (Poisson Distribution)
# np.random.poisson(lam=1.0, size=None)
# Poisson distribution is the limit of the binomial distribution for large N

 

In [20]: np.random.seed(seed=100)


In [21]: rand_pois = np.random.poisson(lam=20, size=100)


In [22]: rand_pois

Out[22]:

array([21, 19, 22, 14, 26, 15, 25, 25, 19, 25, 15, 24, 21, 13, 26, 23, 21,
        16, 24, 17, 18, 18, 15, 18, 22, 28, 21, 18, 17, 31, 23, 13, 20, 19,
        24, 17, 20, 13, 19, 16, 16, 21, 16, 21, 19, 20, 20, 19, 19, 20, 13,
        29,  9, 13, 20, 29, 15, 15, 21, 20, 21, 18, 16, 20, 23, 18, 22, 14,
        19, 20, 18, 17, 20, 24, 20, 15, 19, 19, 25, 17, 19, 27, 20, 17, 12,
        22, 16, 23, 17, 11, 15, 19, 16, 21, 21, 25, 26, 23, 15, 25])


In [23]: unique, counts = np.unique(rand_pois, return_counts=True)


In [24]: np.asarray((unique, counts)).T

Out[24]:

array([[ 9,  1],
        [11,  1],
        [12,  1],
        [13,  5],
        [14,  2],
        [15,  8],
        [16,  7],
        [17,  7],
        [18,  7],
        [19, 12],
        [20, 12],
        [21, 10],
        [22,  4],
        [23,  5],
        [24,  4],
        [25,  6],
        [26,  3],
        [27,  1],
        [28,  1],
        [29,  2],
        [31,  1]], dtype=int64)


In [25]: plt.bar(unique, counts, width=0.5, color="red", align='center')

Out[25]: <Container object of 21 artists>

 

 

 

 

 

다음으로 연속형 확률분포(continuous probability distribution)인 (2-1) 정규분포, (2-2) t-분포, (2-3) 균등분포, (2-4) F 분포, (2-5) 카이제곱분포로부터 난수를 생성하는 방법을 소개합니다.

 

각 분포별 이론 설명은 아래의 포스팅 링크를 참조하세요.

 

- 정규분포 (Normal Distribution) :  http://rfriend.tistory.com/102

- t-분포 (Student's t-distribution) :  http://rfriend.tistory.com/110

- 균등분포 (Uniform Distribution) :  http://rfriend.tistory.com/106

- F-분포(F-distribution) :  http://rfriend.tistory.com/111

- 카이제곱분포 (Chisq-distribution) :  http://rfriend.tistory.com/112

 

 

  (2-1) 정규분포로부터 무작위 표본 추출 : np.random.normal(loc, scale, size)

         (random sampling from Normal Distribution)

 

평균이 '0', 표준편차가 '3'인 정규분포로 부터 난수 100개를 생성해보고, 히스토그램을 그려서 분포를 bin 구간별 빈도(frequency)와 표준화한 비율(normalized percentage)로 살펴보겠습니다.

 

 

# (2) 연속형 확률분포 (continuous probability distribution)
# (2-1) 정규분포(normal distribution)로부터 난수 생성
# Draw random samples from a normal (Gaussian) distribution
# np.random.normal(loc=0.0, scale=1.0, size=None)
# mu : Mean (“centre”) of the distribution
# sigma : Standard deviation (spread or “width”) of the distribution
# size : Output shape

 

In [26]: np.random.seed(100)


In [27]: mu, sigma = 0.0, 3.0


In [28]: rand_norm = np.random.normal(mu, sigma, size=100)


In [29]: rand_norm

Out[29]:

array([-5.24929642,  1.02804121,  3.45910741, -0.75730811,  2.94396236,
        1.54265652,  0.66353901, -3.21012999, -0.56848749,  0.76500433,
       -1.37408096,  1.30549046, -1.75078515,  2.45054122,  2.01816242,
       -0.31323343, -1.59384113,  3.08919806, -1.31440687, -3.35495474,
        4.85694498,  4.62481552, -0.75563742, -2.52730721,  0.55355607,
        2.8112466 ,  2.19300103,  4.08466838, -0.97871418,  0.16702804,
        0.66719883, -4.32965099, -2.26905692,  2.44936203,  2.25133428,
       -1.36784078,  3.5688668 , -5.07185048, -4.06919715, -3.69730354,
       -1.63331749, -2.00451521,  0.02194369, -1.83881621,  3.89924422,
       -5.19928687, -2.9499303 ,  1.07252326, -4.84073551,  4.4121416 ,
       -3.56405279, -1.64923858, -2.82013848, -2.48379709,  0.3265904 ,
        1.52342877, -2.58668204,  3.74840923, -0.23883374, -2.66919444,
       -2.64539517,  0.05591685,  0.71353387,  0.04064565, -4.9065882 ,
       -3.13262963,  1.83911665,  2.20861564,  3.08076432, -4.29657183,
       -5.5235649 ,  1.09827968, -0.99533141, -2.06765393,  6.10382268,
       -1.65214324,  2.25135999, -3.92097702,  1.74172001, -3.31356928,
        2.07036441,  2.0606702 , -4.70006259,  2.71492236,  2.3364672 ,
        1.28469861,  0.32661597,  0.0848509 , -1.73647747, -3.5983536 ,
       -5.11785602,  1.10749187,  5.62972028, -1.13071005,  5.49580825,
        0.0090523 , -0.2280704 ,  0.01187278, -0.55504233, -7.46145461])


In [30]: import matplotlib.pyplot as plt

 


# histogram with frequency

In [31]: count, bins, ignored = plt.hist(rand_norm, normed=False)

 

 

 

# histogram with normalized percentage
In [32]: count, bins, ignored = plt.hist(rand_norm, normed=True)

 

 

 

 

 

  (2-2) t-분포로 부터 무작위 표본 추출 : np.random.standard_t(df, size)

         (Random sampling from t-distribution)

 

자유도(degrees of freedom)가 '3'인 t-분포로부터 100개의 난수를 생성하고, 히스토그램을 그려보겠습니다. 

 

 

# (2-2) t-분포 (Student's t-distribution)로부터 난수 생성
# Draw samples from a standard Student’s t distribution with df degrees of freedom
# np.random.standard_t(df, size=None)
# df : Degrees of freedom
# size : Output shape

 

In [33]: np.random.seed(100)


In [34]: rand_t = np.random.standard_t(df=3, size=100)


In [35]: rand_t

Out[35]:

array([-1.70633623,  0.61010003,  0.45753218, -0.85709656, -0.42990712,
       -0.7437467 ,  0.8444005 , -0.4040428 ,  2.13905276, -0.10844638,
        0.67238716,  1.88720362, -2.57340231, -0.69724955, -3.40107659,
       -0.57745433, -0.36487447,  3.95862541,  2.34665412, -0.94310449,
        0.81852816, -0.48391289,  0.01380029, -0.43003718, -2.25784604,
       -0.18216847, -1.21433582,  0.46347964,  0.50024665, -1.1595865 ,
        0.02358778, -1.18879826, -0.38767689,  2.24289791, -2.80798472,
       -2.838893  , -0.39222432, -1.61499121, -1.78498184,  0.44618923,
       -1.5181203 ,  5.44389927,  4.17743903, -0.49617121, -0.02996529,
        0.89595015,  1.14860485, -3.16541308,  0.14279246,  0.83121743,
       -0.32403947,  0.59297222, -0.39750861,  0.57634934,  0.81587478,
       -1.29367024, -0.28580516, -0.48422765, -0.83697192,  0.50702557,
       -1.98915687,  2.92965716, -1.19522074,  0.65511251,  2.12055605,
       -0.03640814, -0.41931018,  3.31199804, -0.61725596,  0.79681204,
        1.86805014, -0.54345259,  3.11909936,  0.86410458,  2.66353682,
        0.23735454, -0.76306875,  0.24471792, -0.13515045,  0.26402784,
        4.68946895,  0.70573709, -0.17783758,  1.85205955, -0.18352788,
       -0.65713104, -0.73674278,  2.16549569,  1.22326388, -0.5112858 ,
       -1.54451989, -1.73428432,  0.46947115,  1.66594804,  0.51687137,
        1.51361314, -2.22193709,  0.89557421,  0.56222653, -0.55564416])

 

 

# histogram

In [36]: import matplotlib.pyplot as plt


In [37]: count, bins, ignored = plt.hist(rand_t, bins=20, normed=True)


 

 

 

 

  (2-3) 균등분포로 부터 무작위 표본 추출 : np.random.uniform(low, high, size)

         (random sampling from Uniform distribution)

 

최소값이 '0', 최대값이 '10'인 구간에서의 균등분포에서 100개의 난수를 만들어 보고, 히스토그램을 그려서 분포를 확인해보겠습니다.

 

 

# (2-3) 균등분포 (Uniform Distribution)로 부터 난수 생성
# Draw samples from a uniform distribution
# np.random.uniform(low=0.0, high=1.0, size=None)
# low : Lower boundary of the output interval
# high : Upper boundary of the output interval
# [low, high) : includes low, excludes high

 

In [38]: np.random.seed(100)


In [39]: rand_unif = np.random.uniform(low=0.0, high=10.0, size=100)


In [40]: rand_unif

Out[40]:

array([ 5.43404942,  2.78369385,  4.24517591,  8.44776132,  0.04718856,
        1.21569121,  6.70749085,  8.25852755,  1.3670659 ,  5.75093329,
        8.91321954,  2.09202122,  1.8532822 ,  1.0837689 ,  2.19697493,
        9.78623785,  8.11683149,  1.71941013,  8.16224749,  2.74073747,
        4.31704184,  9.4002982 ,  8.17649379,  3.3611195 ,  1.75410454,
        3.72832046,  0.05688507,  2.52426353,  7.95662508,  0.15254971,
        5.98843377,  6.03804539,  1.05147685,  3.81943445,  0.36476057,
        8.90411563,  9.80920857,  0.59941989,  8.90545945,  5.76901499,
        7.42479689,  6.30183936,  5.81842192,  0.20439132,  2.10026578,
        5.44684878,  7.69115171,  2.50695229,  2.8589569 ,  8.52395088,
        9.75006494,  8.84853293,  3.59507844,  5.98858946,  3.54795612,
        3.40190215,  1.7808099 ,  2.37694209,  0.44862282,  5.0543143 ,
        3.76252454,  5.92805401,  6.29941876,  1.42600314,  9.33841299,
        9.46379881,  6.02296658,  3.8776628 ,  3.63188004,  2.04345277,
        2.76765061,  2.46535881,  1.73608002,  9.66609694,  9.570126  ,
        5.97973684,  7.31300753,  3.40385223,  0.92055603,  4.63498019,
        5.08698893,  0.88460173,  5.28035223,  9.92158037,  3.95035932,
        3.35596442,  8.05450537,  7.54348995,  3.13066442,  6.34036683,
        5.40404575,  2.96793751,  1.10787901,  3.12640298,  4.5697913 ,
        6.5894007 ,  2.54257518,  6.41101259,  2.00123607,  6.57624806])

 

 

# histogram

 

In [41]: import matplotlib.pyplot as plt


In [42]: count, bins, ignored = plt.hist(rand_unif, bins=10, normed=True)

 

 

 

 

  이산형 균등분포에서 정수형 무작위 표본 추출 : np.random.randint(low, high, size)

  (Random INTEGERS from discrete uniform distribution)

 

이산형 균등분포(discrete uniform distribution)으로 부터 정수형(integers)의 난수를 만들고 싶으면 np.random.randint 를 사용하면 됩니다. 모수 설정은 np.random.uniform()과 같은데요, high에 설정하는 값은 미포함(not include, but exclude)이므로 만약 0부터 10까지 (즉, 10도 포함하는) 정수형 난수를 만들고 싶으면 high=10+1 처럼 '+1'을 해주면 됩니다.

 

 

# np.random.randint : Discrete uniform distribution, yielding integers

 

In [43]: np.random.seed(100)


In [44]: rand_int = np.random.randint(low=0, high=10+1, size=100)


In [45]: rand_int

Out[45]:

array([ 8,  8,  3,  7,  7,  0, 10,  4,  2,  5,  2,  2,  2,  1,  0,  8,  4,
       10,  0,  9,  6,  2,  4,  1,  5,  3,  4,  4,  3,  7,  1,  1,  7,  7,
        0,  2,  9,  9,  3,  2,  5,  8,  1,  0,  7,  6,  2,  0,  8,  2,  5,
       10,  1,  8, 10,  1,  5,  4,  2,  8,  3,  5,  0,  9, 10,  3,  6,  3,
        4, 10,  7,  6,  3,  9,  0,  4,  4,  5,  7,  6,  6,  2, 10,  4,  2,
        7,  1, 10,  6, 10,  6,  0, 10,  7,  2,  3,  5,  4,  2,  4])

 

 

# histogram

In [46]: import matplotlib.pyplot as plt


In [47]: count, bins, ignored = plt.hist(rand_int, bins=10, normed=True)


 

 

 

 

  (2-4) F-분포로 부터 무작위 표본 추출 : np.random.f(dfnum, dfden, size)

         (Random sampling from F-distribution)

 

자유도1이 '5', 자유도2가 '10'인 F-분포로 부터 100개의 난수를 만들고, 히스토그램을 그려서 분포를 확인해보겠습니다.

 

 

# (2-4) F-분포 (F-distribution)으로부터 난수 생성
# Draw samples from an F-distribution (Fisher distribution)
# numpy.random.f(dfnum, dfden, size=None)
# dfnum : degrees of freedom in numerator
# dfden : degrees of freedom in denominator

 

In [48]: np.random.seed(100)


In [49]: rand_f = np.random.f(dfnum=5, dfden=10, size=100)


In [50]: rand_f

Out[50]:

array([ 0.17509245,  1.34830314,  0.7250835 ,  0.55013536,  1.49183341,
        1.19802261,  1.24949706,  0.70015548,  0.71890936,  0.37020715,
        4.70371284,  0.86726338,  5.12146941,  0.12848202,  0.68237285,
        0.79663258,  1.36935299,  1.08005188,  0.99311831,  0.15607878,
        3.7778542 ,  2.35609305,  0.16850985,  0.98599364,  1.12567067,
        3.21579679,  0.87982087,  0.38319493,  0.96834789,  1.00428004,
        1.65589171,  1.2581278 ,  1.71881244,  0.11251552,  1.65949951,
        1.15809569,  1.33210756,  0.37989215,  0.252446  ,  1.22409406,
        1.86571485,  0.42345727,  3.52740557,  1.32989807,  2.0095314 ,
        1.20016474,  3.5067706 ,  0.67232354,  2.79268109,  0.38115844,
        1.3978449 ,  0.7089553 ,  2.12685211,  0.73462708,  2.03686026,
        0.50287078,  0.31183315,  1.66994305,  5.36906534,  1.55708073,
        2.66826698,  1.31701804,  0.66126086,  0.19123589,  0.58223398,
        0.41897952,  2.17842598,  0.98481411,  0.46953552,  0.99266818,
        0.4463218 ,  0.43809118,  0.37791494,  2.46417893,  0.91230902,
        0.50247167,  1.0960922 ,  0.61328846,  2.07107491,  0.65524443,
        4.00311763,  1.61430287,  0.16159395,  2.42851301,  1.38124899,
        0.33750889,  1.93776135,  1.55612023,  0.59284748,  0.56785228,
        1.09259657,  1.22611626,  0.0744978 ,  0.10373193,  1.95616674,
        2.29130443,  0.62968361,  0.67477008,  0.60981642,  0.58408102])

 

 

# histogram

In [51]: import matplotlib.pyplot as plt


In [52]: count, bins, ignored = plt.hist(rand_f, bins=20, normed=True)

 

 

 

 

  (2-5) 카이제곱분포로 부터 무작위 표본 추출 : np.random.chisquare(df, size)

         (Random sampling from Chisq-distribution)

 

자유도(degrees of freedom)가 '2'인 카이제곱분포로부터 100개의 난수를 생성하고, 히스토그램을 그려서 분포를 확인해보겠습니다.

 

 

# (2-5) 카이제곱분포 (Chisq-distribution)로 부터 난수 생성
# Draw samples from a chi-square distribution
# np.random.chisquare(df, size=None)
# df : Number of degrees of freedom

In [53]: np.random.seed(100)


In [54]: rand_chisq = np.random.chisquare(df=2, size=100)


In [55]: rand_chisq

Out[55]:

array([  1.56791674e+00,   6.52483769e-01,   1.10509323e+00,
         3.72577379e+00,   9.46005029e-03,   2.59236110e-01,
         2.22187032e+00,   3.49570821e+00,   2.94001314e-01,
         1.71177147e+00,   4.43873095e+00,   4.69425742e-01,
         4.09939940e-01,   2.29423517e-01,   4.96147209e-01,
         7.69095282e+00,   3.33925872e+00,   3.77341773e-01,
         3.38808346e+00,   6.40613699e-01,   1.13022638e+00,
         5.62781567e+00,   3.40364791e+00,   8.19283487e-01,
         3.85739072e-01,   9.33081811e-01,   1.14094971e-02,
         5.81844910e-01,   3.17596456e+00,   3.07450508e-02,
         1.82680669e+00,   1.85169520e+00,   2.22193172e-01,
         9.62350625e-01,   7.43158820e-02,   4.42204683e+00,
         7.91831906e+00,   1.23627383e-01,   4.42450081e+00,
         1.72030053e+00,   2.71331337e+00,   1.98949905e+00,
         1.74379278e+00,   4.13018033e-02,   4.71511953e-01,
         1.57353105e+00,   2.93167254e+00,   5.77218949e-01,
         6.73452471e-01,   3.82643217e+00,   7.37827846e+00,
         4.32309651e+00,   8.91036809e-01,   1.82688432e+00,
         8.76376262e-01,   8.31607381e-01,   3.92226832e-01,
         5.42815006e-01,   9.17994841e-02,   1.40813894e+00,
         9.44019133e-01,   1.79692816e+00,   1.98819039e+00,
         3.07702183e-01,   5.43139774e+00,   5.85166185e+00,
         1.84409785e+00,   9.81282349e-01,   9.02561614e-01,
         4.57179904e-01,   6.48042320e-01,   5.66147763e-01,
         3.81372088e-01,   6.79897935e+00,   6.29369648e+00,
         1.82247546e+00,   2.62832513e+00,   8.32198571e-01,
         1.93144279e-01,   1.24537005e+00,   1.42139617e+00,
         1.85239984e-01,   1.50170184e+00,   9.69653206e+00,
         1.00517243e+00,   8.17731091e-01,   3.27413768e+00,
         2.80768685e+00,   7.51035408e-01,   2.01044435e+00,
         1.55481738e+00,   7.04210092e-01,   2.34838981e-01,
         7.49795080e-01,   1.22121505e+00,   2.15139414e+00,
         5.86749873e-01,   2.04942998e+00,   4.46596145e-01,
         2.14369617e+00])

 

 

# histogram

In [56]: import matplotlib.pyplot as plt


In [57]: count, bins, ignored = plt.hist(rand_chisq, bins=20, normed=True)

 

 

 

 

 

많은 도움 되었기를 바랍니다.

 

 

 

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