R 단일 모집단의 모평균에 대한 신뢰구간 추정(confidence interval estimation)과 검정(test) : t.test()

통계적 검정 (statistical testing) 은 모집단의 모수 또는 분포 형태에 대한 추정에 대해 그것이 옳은지 그른지를 임의로 추출한 표본으로부터 통계량을 측정하여 판단하는 통계적 절차를 말합니다.

 

단일 모집단에 대한 통계적 추론 (추정과 검정) 과 관련하여

 

[표본이 크고 정규성 충족 시]

- 단일 모집단의 모평균에 대한 신뢰구간 추정과 검정

   : t.test()

 

- 단일 모집단의 모분산에 대한 신뢰구간 추정과 검정

 

   : chisq test

 

- 단일 모집단의 모비율에 대한 신뢰구간 추정과 검정

   : prop.test()

 

 

[정규성 미충족 시]

- 단일 모집단 중심에 대한 비모수 검정

  : wilcox.test()

 

 

[정규성 여부 검정]

- 단일 모집단 분포의 정규성 검정

  : shapiro.test(), qqnorm(), qqline()

 

을 차례로 살펴보겠습니다.

 

이번 포스팅에서는 정규분포 형태를 띠는 단일 모집단에서 임의로 많은 갯수의 표본을 추출하여 미지의 모수인 모평균 μ 에 대한 95% 신뢰계수의 신뢰구간 추정과 검정을 R의 t.test() 함수를 활용해서 해보겠습니다.

(표본의 크기가 충분히 크면 중심 극한의 정리에 의거하여 정규분포를 가정)

 

 

먼저, 기본 용어부터 살펴보자면

 

[ 귀무가설 (null hypothesis: H0), 대립가설 (alternative hypothesis : H1) ]

 

귀무가설 (null hypothesis: H0) : 현재까지 참이라고 알려진 사실 대립가설 (alternative hypothesis : H1) : 귀무가설에 반대되는 가설로, 연구자가 표본자료로 부터 입증하고자 하는 주장, 추정, 가설

 

 

 

[ 대립가설의 형태에 따른 검정의 분류 (Types of alternative hypothesis) ]

 

단측 검정 (One-sided test) : H1 : population mean > (greater) or < (less) than specific value (greater : 우측 검정, less : 좌측 검정) 양측 검정 (Tow-sided test) : H1 : population mean =! (not equal) with specific value

 

 

 

[ 검정 통계량 (test statistic)과 P-value]

검정 통계량 (test statistic) : 귀무가설의 채택 또는 기각 여부를 판단하는데 사용하는 통계량 표본자료로부터 관측된 모수의 추정값이 귀무가설 하에서 일어나기 힘든 값, 매우 희귀한 값이면 귀무가설을 기각하고 대립가설을 채택하는 원리 임의적 판단이 아닌, 검정 통계량의 확률분포와 유의 수준(significance level)를 이용해 판단 P-value : 귀무가설이 옳다는 가정 하에서 표본으로부터 계산된 검정 통계량의 값보다 더 극단적인 결과가 나올 확률로서, P-value가 유의 수준보다 작으면 귀무가설을 기각하고 대립가설을 채택함

 

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문제 하나를 가지고 예를 들어서 R t.test() 함수를 활용해 추정과 검정 해보겠습니다.

 

 

문제 ) 2010년도에 서울 지역의 고등학교 1학년 남학생의 몸무게를 전수 조사하였더니 평균이 63.0 kg, 표준편차가 8.0 kg이 나왔다.  2015년에 15명의 남학생을 무작위로 표본을 추출하여 몸무게를 재어보니 {70.2, 54.9, 67.0, 60.5, 63.4, 61.9, 71.8, 66.1, 72.6, 73.0, 68.7, 70.3, 66.2, 55.6, 65.9} 와 같이 나왔을 때 서울 지역 고등학교 1학년 남학생의 몸무게가 5년 전보다 더욱 증가했다고 볼 수 있는가?

 

(대립가설 1, 단측 검정 "greater") '서울 지역 고등학교 1학년 남학생의 몸무게가 5년 전과 동일하다'는 귀무가설(H0), '서울 지역 고등학교 1학년 남학생의 몸무게가 5년 전보다 더욱 증가하였다'는 대립가설(H1)을 검정하시오.

 

• H0 : 서울 지역 고등학교 1학년 남학생의 몸무게는 5년 전보다 증가하지 않음
• H1 : 서울 지역 고등학교 1학년 남학생의 몸무게가 5년 전보다 더욱 증가

 

 

# Normal distribution plot, X~N(63, 8^2), right-sided test x1 <- c(33:93) plot(x1, dnorm(x1, mean=63, sd=8), type='l',      main="Normal distribution, X~N(63,8^2), right-sided test") abline(v=63, col="blue", lty=3) abline(v=63 + 1.96*8, col="red", lty=2) text(82, 0.003, labels = "------->")

 

 

(1) 단측 검정 (one-sided test) 

 

> ##---------------------------------------------------------- > ## 단일 모집단의 모평균에 대한 신뢰구간 추정과 검정: t.test() > ##---------------------------------------------------------- > > # x : random sample of 15 students's weight in high school > x <- c(70.2, 54.9, 67.0, 60.5, 63.4, 61.9, 71.8, 66.1, 72.6, 73.0, 68.7, 70.3, 66.2, 55.6, 65.9) > mean(x) [1] 65.87333 > var(x); sd(x) [1] 32.54495 [1] 5.704818 > > stem(x) # stem-and-leaf plot The decimal point is 1 digit(s) to the right of the | 5 | 5 | 56 6 | 123 6 | 66679 7 | 00233 > > > # one-sided test : "greater" > t.test(x, # weight vector for t-test + alternative = c("greater"), # alternative = c("less", "greater", "two-sided") + mu = 63.0, # mu of population + conf.level = 0.95) # confidence level or confidence coefficient (1-α) One Sample t-test data: x t = 1.9507, df = 14, p-value = 0.0357 alternative hypothesis: true mean is greater than 63 95 percent confidence interval: 63.27896 Inf sample estimates: mean of x 65.87333

 

(해석) 위 t.test()를 활용한 분석 결과 t 통계량은 1.9507, P-value 는 0.0357로서 유의수준 (significance level) 5% 하에서는 귀무가설이 기각, 대립가설이 채택되어 "5년 전보다 남학생들 몸무게가 증가"하였다고 판단할 수 있습니다.

 

P-value가 0.0357 이므로 15개의 임의 표본을 추출해서 100 번 반복 조사를 해보면 약 3번~4번 밖에 위와 같은 경우가 발생한다는 뜻이므로, 귀무가설 하에서는 일어나기에 쉽지 않은 경우라고 하겠지요?

 

95% 신뢰구간은 아래 값처럼 (63.27896 ~ 무한대)가 되겠네요.  단측검정으로 우측검정을 했기 때문에 이런 신뢰구간 값이 나온겁니다. 

 

95 percent confidence interval: 63.27896      Inf

 

5년 전의 모집단의 몸무게 평균이 63.0 kg 이라고 했는데요, 5년 후에 조사한 표본집단의 몸무게 평균의 95% 신뢰구간이 (63.27896~무한대) 이므로 서로 겹치지 않습니다.  그만큼 귀무가설에서는 일어나기 힘든 일이 벌어진 것이므로, 대립가설("greater")을 채택하게 됩니다.

 

 

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(대립가설 2, 양측 검정 "two.sided))  서울 지역 고등학교 1학년 남학생의 몸무게는 5년 전과 동일하다는 대립가설을 검정하시오.

 

H0 : 서울 지역 고등학교 1학년 남학생의 몸무게는 5년 전과 동일

H1 : 서울 지역 고등학교 1학년 남학생의 몸무게가 5년 전과 다름 (증가 혹은 감소)

 

 

# Normal distribution plot, X~N(63, 8^2), two-sided test x1 <- c(33:93) plot(x1, dnorm(x1, mean=63, sd=8), type='l',      main="Normal distribution, X~N(63,8^2), two-sided test") abline(v=63, col="blue", lty=3) abline(v=63 - 1.96*8, col="red", lty=2) abline(v=63 + 1.96*8, col="red", lty=2) text(82, 0.003, labels = "------->") text(44.5, 0.003, labels = "<-------")

 

 

 

 

(2) 양측 검정 (two-sided test) 

 

> # two-sided test : "two.sided" > t.test(x, # weight vector for t-test + alternative = c("two.sided"), # alternative = c("less", "greater", "two-sided") + mu = 63.0, # mu of population + conf.level = 0.95) # confidence level or confidence coefficient (1-α) One Sample t-test data: x t = 1.9507, df = 14, p-value = 0.0714 alternative hypothesis: true mean is not equal to 63 95 percent confidence interval: 62.71411 69.03256 sample estimates: mean of x 65.87333

 

위 양측검정 (two-sided testing) 결과 P-value 가 0.0714 이므로 유의수준 (significance level) 5% 하에서는 귀무가설을 채택(대립가설 기각, 즉 5년 전과 몸무게 평균 같다)하고, 유의수준 10% 하에서는 귀무가설을 기각(대립가설 채택, 즉 5년 전과 몸무게 평균 다르다)하게 됩니다.

 

 

 

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(3) 95% 신뢰구간 값 구하기 (indexing of 95% confidence level value)

 

> # indexing of 95% confidence level value > t.test_confi_95 <- t.test(x, alternative = c("two.sided"), mu = 63.0, conf.level = 0.95) > > > names(t.test_confi_95) # statistics [1] "statistic" "parameter" "p.value" "conf.int" "estimate" "null.value" "alternative" [8] "method" "data.name" > > t.test_confi_95$conf.int # confidence interval at 95% confidence level [1] 62.71411 69.03256 attr(,"conf.level") [1] 0.95 > > t.test_confi_95$conf.int[1] # lower limit [1] 62.71411 > t.test_confi_95$conf.int[2] # upper limit [1] 69.03256

 

 

많은 도움 되었기를 바랍니다.

 

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