관측값이 질적 자료(qualitative data) 또는 어떤 속성에 따라 분류되어 범주(category)에 속하는 도수(frequency)로 주어질 경우 이를 범주형 자료(categorical data) 라고 합니다. 범주형 자료의 예로는 학력(초등졸, 중등졸, 고등졸, 대졸, 대학원졸), 연수익(극빈, 하, 중, 상, 극상) 등이 있습니다.

 

지난 포스팅에서는 범주형 자료분석 중에서 (1) 적합도 검정, (2) 독립성 검정 (test of independence)에 대해서 소개하였다면, 이번 포스팅에서는 (3) 동질성 검정(test of homogeneity)을 다루도록 하겠습니다.

 

범주형 자료 분석 유형별 간략한 소개는 아래와 같습니다.

 

 

 

 

[ 범주형 자료 분석 (categorical data test) ]

 

(1) 적합도 검정(goodness of fit test) : 관측값들이 어떤 이론적 분포를 따르고 있는지를 검정. 한 개의 요인을 대상으로 함 

 

(2) 독립성 검정(test of independence) : 서로 다른 요인들에 의해 분할되어 있는 경우 그 요인들이 관찰값에 영향을 주고 있는지 아닌지, 요인들이 서로 연관이 있는지 없는지를 검정. 두 개의 요인을 대상으로 함.

 

(3) 동질성 검정(test of homogeneity) : 관측값들이 정해진 범주 내에서 서로 비슷하게 나타나고 있는지를 검정. 속성 A, B를 가진 부모집단(subpopulation) 각각으로부터 정해진 표본의 크기만큼 자료를 추출하는 경우에 분할표에서 부모집단의 비율이 동일한가를 검정. 두 개의 요인을 대상으로 함.  

 

 

 

 

 

 

 

독립성 검정과 동질성 검정의 이해를 돕기 위해 서로 비교를 해보자면,

 

(1) 독립성 검정이 두 변수 X와 Y가 서로 독립인지 아닌지에 대한 판단이라면, 동질성 검정은 r개의 행과 c개의 열을 가진 두 변수 X와 Y로부터 작성된 분할표의 각 열분포에서 행들이 균일한 값을 가지는지 즉, 각 열에서 행들의 동질성(homegeneity)를 검정하는 것입니다. 두 검정법의 이런 차이점은 개념상의 차이일 뿐이며 검정을 하는 방법은 카이제곱 검정을 이용해서 동일합니다.

 

(2) 독립성 검정은 하나의 모집단에서 표본을 무작위로 추출한 후 추출된 표본을 두가지 속성(변수)에 따라 분류합니다.  반면에 동질성 검정은 부모집단(subpopulation)을 먼저 설정한 후 각 부모집단으로부터 정해진 표본의 크기만큼 무작위로 추출하여 분할표에서 부모집단의 비율이 동일한가를 검정하게 됩니다. 가령, 소득수준에 따라 지지 정당이 동일한지 여부를 검정한다고 할 때, 우선 소득수준을 부모집단으로 설정하고, 각 소득수준별로 정해진 크기의 표본을 무작위로 추출하는 식입니다.

 

 

r개의 행과 c개의 열을 가진 두 변수 X와 Y로부터 작성된 r*c 분할표를 이용한 동질성 검정을 위한 데이터셋 구조는 아래와 같습니다.

 

 

[ 동질성 검정 자료 구조 (dataset for test of homogeneity) ]

 

 

 

동질성 검정을 위한 가설과 검정통계량, 검정방법은 아래와 같습니다. 검정통계량 X^2 는 귀무가설 H0가 사실일 때 근사적으로 자유도 (r-1)(c-1)인 카이제곱 분포를 따르는 것으로 알려져있습니다.

 

 

[ 적합도 검정 가설 및 검정 통계량, 검정 방법 ]

 

(1) 가설

 

  - 귀무가설 H0 : p1j = p2j = ... = prj,   j = 1, ..., c

 

  - 대립가설 H1 : H0가 아니다

 

 

(2) 검정 통계량

 

 

(3) 검정 방법

 

 

 

이제 아래의 문제를 R의 chisq.test() 함수를 이용해서 풀어보도록 하겠습니다.

 

 

(문제) 초등학교 1학년 남학생 100명과 여학생 200명을 무작위로 추출하여 TV 프로그램 선호도를 조사하였다. 유의수준 α 0.05 에서 남학생의 TV 프로그램 선호도와 여학생의 TV프로그램 선호도가 동일한지 검정하여라.

 

 

선호 TV 프로그램 

row total 

 뽀로로

짱구는 못말려 

로봇카 폴리 

 남학생

 50

30

20 

100

 여학생

 50

80

70 

200

 column total

100

110

90

300

 

 

 

 

[가설]
- H0 : 남학생과 여학생별로 TV 선호도는 동일하다
         (p1j = p2j,   j = 뽀로로, 짱구는 못말려, 로봇카 폴리)

- H1 : H0가 아니다

 

 

아래 분석에 사용한 R chisq.test() 함수는 이전 포스팅의 독립성 검정과 동일합니다.

 

 

> ##---------------------------------------------------------------------
> ## categorical data analysis - (3) test of homogeneity : chisq.test()
> ##---------------------------------------------------------------------
> 
> ##-------------
> # (a) textbook problem
> 
> ## data key-in
> # data key-in way 1 : rbind()
> row_1 <- c(50, 30, 20)
> row_2 <- c(50, 80, 70)
> 
> data_rbind <- rbind(row_1, row_2)
> data_rbind
      [,1] [,2] [,3]
row_1   50   30   20
row_2   50   80   70
> 
> 
> # data key-in way 2 : matrix()
> raw_data <- c(50, 30, 20, 50, 80, 70)
> data_matrix <- matrix(raw_data, byrow=TRUE, nrow=2)
> data_matrix
     [,1] [,2] [,3]
[1,]   50   30   20
[2,]   50   80   70
> 
> 
> # giving names to the rows and columns of the data table : dimnames()
> dimnames(data_matrix) <- list("Gender" = c("Boys", "Girls"), 
+                               "TV_Preferences" = c("Pororo", "JJangGu", "RobotCar"))
> 
> data_matrix
       TV_Preferences
Gender  Pororo JJangGu RobotCar
  Boys      50      30       20
  Girls     50      80       70
> 
> 
> ## exploratory data analysis
> # marginal distribution : addmargins()
> addmargins(data_matrix)
       TV_Preferences
Gender  Pororo JJangGu RobotCar Sum
  Boys      50      30       20 100
  Girls     50      80       70 200
  Sum      100     110       90 300
> 
> 
> # proportional distribution : prop.table()
> prop.table(data_matrix)
       TV_Preferences
Gender     Pororo   JJangGu   RobotCar
  Boys  0.1666667 0.1000000 0.06666667
  Girls 0.1666667 0.2666667 0.23333333
> 
> addmargins(prop.table(data_matrix))
       TV_Preferences
Gender     Pororo   JJangGu   RobotCar       Sum
  Boys  0.1666667 0.1000000 0.06666667 0.3333333
  Girls 0.1666667 0.2666667 0.23333333 0.6666667
  Sum   0.3333333 0.3666667 0.30000000 1.0000000
> 
> 
> # bar plot : barplot()
> barplot(t(data_matrix), beside=TRUE, legend=TRUE, 
+         ylim=c(0, 120), 
+         ylab="Observed frequencies in sample", 
+         main="TV viewing preferences by gender")
> 

 

> 
> ## chisquared test : chisq.test()
> chisq.test(data_matrix)

	Pearson's Chi-squared test

data:  data_matrix
X-squared = 19.318, df = 2, p-value = 6.384e-05

> 
> 
> # indexing statistics of chisq.test()
> chisq.test_output_2 <- chisq.test(data_matrix)
> 
> chisq.test_output_2$observed # observed frequency
       TV_Preferences
Gender  Pororo JJangGu RobotCar
  Boys      50      30       20
  Girls     50      80       70
> chisq.test_output_2$expected # expected frequeycy
       TV_Preferences
Gender    Pororo  JJangGu RobotCar
  Boys  33.33333 36.66667       30
  Girls 66.66667 73.33333       60
> chisq.test_output_2$residuals # residual between observed and expected frequecy
       TV_Preferences
Gender     Pororo    JJangGu  RobotCar
  Boys   2.886751 -1.1009638 -1.825742
  Girls -2.041241  0.7784989  1.290994
> 
> chisq.test_output_2$statistic # chi-squared statistics
X-squared 
 19.31818 
> chisq.test_output_2$parameter # degrees of freedom
df 
 2 
> chisq.test_output_2$p.value # P-value
[1] 6.384253e-05

 

 

 

위의 분석 결과를 해석해보자면, 카이제곱 통계량 값이 19.318이 나왔고 P-value가 6.384e-05 로서 유의수준 α 0.05 보다 훨씬 작기때문에 귀무가설 H0 를 기각하고 대립가설 H1을 채택하여 "남학생/여학생별 선호하는 TV프로그램은 동일하지 않다"고 판단할 수 있겠습니다.

 

많은 도움이 되었기를 바랍니다.

 

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지난 포스팅에서는 범주형 자료분석 중에서 (1) 적합도 검정에 대해서 소개하였다면, 이번 포스팅에서는 (2) 독립성 검정 (test of independence)에 대해서 알아보겠으며, 다음번 포스팅에서는 (3) 동질성 검정을 다루도록 하겠습니다.

 

 

범주형 자료 분석 유형별 간략한 소개는 아래와 같습니다.

 

 

 

[ 범주형 자료 분석 (categorical data test) ]

 

(1) 적합도 검정(goodness of fit test) : 관측값들이 어떤 이론적 분포를 따르고 있는지를 검정. 한 개의 요인을 대상으로 함 

 

(2) 독립성 검정(test of independence) : 서로 다른 요인들에 의해 분할되어 있는 경우 그 요인들이 관찰값에 영향을 주고 있는지 아닌지, 요인들이 서로 연관이 있는지 없는지를 검정. 두 개의 요인을 대상으로 함.

 

(3) 동질성 검정(test of homogeneity) : 관측값들이 정해진 범주 내에서 서로 비슷하게 나타나고 있는지를 검정. 속성 A, B를 가진 부모집단(subpopulation) 각각으로부터 정해진 표본의 크기만큼 자료를 추출하는 경우에 분할표에서 부모집단의 비율이 동일한가를 검정. 두 개의 요인을 대상으로 함.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

독립성 검정(test of independence)은 두 개의 범주형 변수/요인(2 factors)이 서로 연관성이 있는지, 상관이 있는지, 독립적인지를 카이제곱 검정(chisquared test)을 통해 통계적으로 판단하는 방법입니다.

 

가령, 학력(초등졸, 중등졸, 고등졸, 대졸, 대학원졸)이라는 범주형 변수(variable X)/요인(factor 1)와 연소득(하, 중, 상)이라는 범주형 변수(variable Y)/요인(factor 2) 간에 서로 관련성이 있는 것인지 아니면 관련이 없이 독립적인지를 판단하는 것과 같은 문제에 독립성 검정을 사용합니다.

 

참고로, 두 변수가 양적변수(qualitative variable)인 경우 두 변수 간 상관관계 분석을 위해서는 공분산 분석, 상관계수 분석, 회귀분석 등을 활용합니다.

 

범주형 자료분석의 경우 두 변수의 관련성을 보려면 분할표를 만들어서 카이제곱 검정을 하게 되는데요, 두 변수간의 관련성을 양적변수 분석할 때처럼 숫자로 얼마나 관련성이 큰지를 알 수 있는 통계량을 제공하지는 않습니다.  (범주형 자료분석에서 두 변수 간 관련성 측도로 파이계수, 속성계수, 크레머 V 등의 통계량이 있는데요, 이번 포스팅에서는 이에 대한 설명은 건너뛰겠습니다.)

 

 

자료를 분류하는 두 변수를 x와 Y라고 하고, 변수 X는 m개, 변수 Y는 n개의 범주(혹은 계급 class, 혹은 요인 수준 factor level)를 가진다고 했을 때 관측도수 Oij 는 m개와 n개의 층으로 이루어진 아래와 같은 표로 정리할 수 있습니다.  이를 m*n 분할표 (m*n contingency table)이라고 부릅니다.

 

 

[ 독립성 검정 자료 구조 (dataset for test of independence) ]

 

 

 

 

독립성 검정에는 카이제곱 X^2 통계량을 사용하는데요, 귀무가설 H0 가 사실일 때 자유도 (m-1)(n-1)인 카이제곱분포에 근사하는 것으로 알려져 있습니다. (☞ 카이제곱 분포(Chi-squared distribution) 참고 포스팅

 

검정통계량 카이제곱 X^2 은 각 범주의 기대도수가 5 이상인 경우에 사용하는 것이 바람직하며, 기대도수가 5 미만인 경우에는 주의를 요합니다. (5보다 작으면 인접 범주와 합치는 것도 방법)

 

기본 원리는, 관측도수 O11, O21, ..., Omn 이 기대도수 E11, E21, ..., Emn 과 차이가 없다면 검정통계량 X0^2 값이 '0'이 되고, 반대로 관측도수와 기대도수가 차이가 크다면 검정통계량 값 또한 커지게 된다는 것입니다.

 

 

 

 

 

[ 독립성 검정(test of independence) 가설 및 검정 통계량, 검정 방법 ]

 

(1) 가설 (hypothesis)

 

  - 귀무가설 H0 : 두 변수 X와 Y는 서로 독립이다 (관련성이 없다)
                        ( pij = pim * pnj,   i = 1, 2, .., m,   j = 1, 2, ..., n )

 

  - 대립가설 H1 : 두 변수 X와 Y는 서로 독립이 아니다 (관련성이 있다)

 

 

 

(2) 검정 통계량 (chisquared test statistics)

 

 

 

(3) 검정 방법 (test method)

 

 

  • (a) chisq.test() of data from text problem

 

아래 문제에 대해서 R의 chisq.test() 함수를 사용해서 풀어보도록 하겠습니다. 

 

 

(문제)  학급 (class 1, class 2, class 3)과 수학 성적 (math score High, Middle, Low, Fail) 간의 관련성이 있는지를 조사한 아래의 분할표를 사용하여 유의수준 α 0.05 로 검정하여라.  

 

 

학급과 수학성적 분할표 (contingency table of class & math score)

 

 

score High 

score Middle 

score Low 

Fail 

Class 1

7

13

9

12

 Class 2

13

21

10

19

 Class 3

11

18

12

13

 

 

 

먼저 데이터 입력 및 탐색적 분석을 위한 R 함수입니다.

 

 

> ##---------------------------------------------------------------------
> ## categorical data analysis - (2) test of independence : chisq.test()
> ##---------------------------------------------------------------------
> 
> ##-------------
> # (a) textbook problem
> 
> ## data key-in
> # data key-in way 1 : rbind()
> row_1 <- c(7, 13, 9, 12)
> row_2 <- c(13, 21, 10, 19)
> row_3 <- c(11, 18, 12, 13)
> 
> data_rbind <- rbind(row_1, row_2, row_3)
> data_rbind
      [,1] [,2] [,3] [,4]
row_1    7   13    9   12
row_2   13   21   10   19
row_3   11   18   12   13
> 
> 
> # data key-in way 2 : matrix()
> raw_data <- c(7, 13, 9, 12, 13, 21, 10, 19, 11, 18, 12, 13)
> data_matrix <- matrix(raw_data, byrow=TRUE, nrow=3)
> data_matrix
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    7   13    9   12
[2,]   13   21   10   19
[3,]   11   18   12   13
> 
> 
> # giving names to the rows and columns of the data table : dimnames()
> dimnames(data_matrix) <- list("Class" = c("Class_1", "Class_2", "Class_3"), 
+                               "Score" = c("Score_H", "Score_M", "Score_L", "Fail"))
> 
> data_matrix
         Score
Class     Score_H Score_M Score_L Fail
  Class_1       7      13       9   12
  Class_2      13      21      10   19
  Class_3      11      18      12   13
> 
> 
> ## exploratory data analysis
> # marginal distribution : addmargins()
> addmargins(data_matrix)
         Score
Class     Score_H Score_M Score_L Fail Sum
  Class_1       7      13       9   12  41
  Class_2      13      21      10   19  63
  Class_3      11      18      12   13  54
  Sum          31      52      31   44 158
> 
> 
> # proportional distribution : prop.table()
> prop.table(data_matrix)
         Score
Class        Score_H    Score_M    Score_L       Fail
  Class_1 0.04430380 0.08227848 0.05696203 0.07594937
  Class_2 0.08227848 0.13291139 0.06329114 0.12025316
  Class_3 0.06962025 0.11392405 0.07594937 0.08227848
> 
> addmargins(prop.table(data_matrix))
         Score
Class        Score_H    Score_M    Score_L       Fail       Sum
  Class_1 0.04430380 0.08227848 0.05696203 0.07594937 0.2594937
  Class_2 0.08227848 0.13291139 0.06329114 0.12025316 0.3987342
  Class_3 0.06962025 0.11392405 0.07594937 0.08227848 0.3417722
  Sum     0.19620253 0.32911392 0.19620253 0.27848101 1.0000000
> 
> 
> # bar plot : barplot()
> barplot(t(data_matrix), beside=TRUE, legend=TRUE, 
+         ylim=c(0, 30), 
+         ylab="Observed frequencies in sample", 
+         main="Frequency of math score by class")
> 

 

 

 

 

 

다음으로 카이제곱 검정 및 통계량 indexing 방법입니다.

 

 

> 
> ## chisquared test : chisq.test()
> chisq.test(data_matrix)

	Pearson's Chi-squared test

data:  data_matrix
X-squared = 1.3859, df = 6, p-value = 0.9667

> 
> 
> # indexing statistics of chisq.test()
> chisq.test_output_2 <- chisq.test(data_matrix)
> 
> chisq.test_output_2$observed # observed frequency
         Score
Class     Score_H Score_M Score_L Fail
  Class_1       7      13       9   12
  Class_2      13      21      10   19
  Class_3      11      18      12   13
> chisq.test_output_2$expected # expected frequeycy
         Score
Class       Score_H  Score_M   Score_L     Fail
  Class_1  8.044304 13.49367  8.044304 11.41772
  Class_2 12.360759 20.73418 12.360759 17.54430
  Class_3 10.594937 17.77215 10.594937 15.03797
> chisq.test_output_2$residuals # residual between observed and expected frequecy
         Score
Class        Score_H     Score_M    Score_L       Fail
  Class_1 -0.3681990 -0.13439170  0.3369579  0.1723221
  Class_2  0.1818200  0.05837794 -0.6714739  0.3475383
  Class_3  0.1244439  0.05404747  0.4316649 -0.5255380
> 
> chisq.test_output_2$statistic # chi-squared statistics
X-squared 
 1.385926 
> chisq.test_output_2$parameter # degrees of freedom
df 
 6 
> chisq.test_output_2$p.value # P-value
[1] 0.966709

  

 

 

위 분석결과를 보면 P-value가 0.966709 로서 유의수준 α 0.05보다 크므로 귀무가설 H0를 채택하여 "학급과 수학성적 간에는 서로 관련성이 없다. 즉, 독립적이다"고 판단할 수 있겠습니다.

 

 

 

이상으로 독립성 검정(test of independence)을 카이제곱 검정 기법을 사용해서 하는 방법을 소개하였습니다.

 

 

 

 

다음번 포스팅에서는 (3) 동질성 검정(test of homegeneity)에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

 

많은 도움이 되었기를 바랍니다.

 

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관측값이 질적 자료(qualitative data) 또는 어떤 속성에 따라 분류되어 범주(category)에 속하는 도수(frequency)로 주어질 경우 이를 범주형 자료(categorical data) 라고 합니다. 범주형 자료의 예로는 학력(초등졸, 중등졸, 고등졸, 대졸, 대학원졸), 연수익(극빈, 하, 중, 상, 극상) 등이 있습니다.

 

앞서의 포스팅에서는 종속변수가 연속형 자료(continuous data)인 경우에 사용하는 검정 방법으로 t-Test와 ANOVA에 대해서 소개하였습니다.

 

이번 포스팅부터는 종속변수가 범주형 자료(categorical data)인 경우에 사용하는 분석기법으로 카이제곱 검정(Chi-Squared Test)에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

 

범주형 자료 분석은 크게 적합도 검정(goodness f fit test), 독립성 검정(test of independence), 동질성 검정(test of homogeneity)의 3가지로 분류할 수 있으며, 이번 포스팅에서는 (1) 적합도 검정에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

 

 

 

[ 범주형 자료 분석 (categorical data test) ]

 

(1) 적합도 검정(goodness of fit test) : 관측값들이 어떤 이론적 분포를 따르고 있는지를 검정. 한 개의 요인을 대상으로 함 

 

(2) 독립성 검정(test of independence) : 서로 다른 요인들에 의해 분할되어 있는 경우 그 요인들이 관찰값에 영향을 주고 있는지 아닌지, 요인들이 서로 연관이 있는지 없는지를 검정. 두 개의 요인을 대상으로 함.

 

(3) 동질성 검정(test of homogeneity) : 관측값들이 정해진 범주 내에서 서로 비슷하게 나타나고 있는지를 검정. 속성 A, B를 가진 부모집단(subpopulation) 각각으로부터 정해진 표본의 크기만큼 자료를 추출하는 경우에 분할표에서 부모집단의 비율이 동일한가를 검정. 두 개의 요인을 대상으로 함.

 

 

 

 

 

 

적합도 검정(goodness of fit test)은 k개의 범주 (혹은 계급)을 가지는 한 개의 요인(factor)에 대해서 어떤 이론적 분포를 따르고 있는지를 검정하는 방법입니다. 

 

기본 원리는, 도수분포의 각 구간에 있는 관측도수를 O1, O2, ..., Ok 라 하고, 각 범주 ( 혹은 계급)가 일어날 확률을 p1, p2, ..., pk 라고 할 때 기대되는 관측도수 E1, E2, ..., Ek 를 계산하여 실제 관측도수와 기대 관측도수의 차이를 카이제곱 검정 통계량(Chi-squared statistics)을 활용하여 가정한 확률모형에 적합한지를 평가하게 됩니다. 만약 귀무가설 H0가 맞다면 관측도수와 기대도수가 별 차이가 없을 것이므로 검정통계량 X0^2 값이 작을 것이며, 반대로 대립가설 H1이 맞다면 관측도수와 기대도수의 차이가 클 것이므로 검정통계량 X0^2 값이 커질 것입니다.

 

 

 

[ 적합도 검정 가설 및 검정 통계량, 검정 방법 ]

(1) 가설

 

  - 귀무가설 H0 : 관측값의 도수와 가정한 이론 도수(기대 관측도수)가 동일하다
                        ( p1 = p10, p2 = p20, ..., pk = pko )

 

  - 대립가설 H1 : 적어도 하나의 범주 (혹은 계급)의 도수가 가정한 이론 도수(기대 관측도수)와 다르다

                        (적어도 하나의 pi는 가정된 값 pi0과 다르다)

 

 

(2) 검정 통계량

 

 

 

(3) 검정 방법

 

 

 

 

  • (a) chisq.test() of data from text problem

 

아래 문제에 대해서 R의 chisq.test() 함수를 사용해서 풀어보도록 하겠습니다.

 

 

 

(문제)  유전학자 멘델은 콩 교배에 대한 유전의 이론적 모형으로서 잡종비율을 A : B : C = 2 : 3 : 5 라고 주장하였다.  이 이론의 진위를 가리기 위해 두 콩 종자의 교배로 나타난 100개의 콩을 조사하였더니 A형 19개, B형 41개, C형 40개였다.  이러한 관찰값을 얻었을 때 멘델 유전학자의 이론이 맞다고 할 수 있는지를 유의수준 α = 0.05 에서 검정하여라.

 

 

 

> ##---------------------------------------------------------------------
> ## categorical data analysis - (1) goodness of fit test : chisq.test()
> ##---------------------------------------------------------------------
> 
> obs <- c(19, 41, 40)
> null.probs <- c(2/10, 3/10, 5/10)
> 
> chisq.test(obs, p=null.probs)

	Chi-squared test for given probabilities

data:  obs
X-squared = 6.0833, df = 2, p-value = 0.04776

 

 

위 분석결과를 보면 P-value가 0.04776 이므로 유의수준 α 0.05보다 작으므로 귀무가설 H0를 기각하고 대립가설 H1을 채택하여 "멘델이 주장한 콩의 잡종비율 이론적 분포는 적합하지 않다"고 판단할 수 있겠습니다.

 

 

 참고로, R로 통계분석을 하면 콘솔 창에 보여지는 내용 말고도 실제로 다양한 통계량이 계산이 되어 list 형태로 메모리상에 가지고 있으며 단지 눈에 보이지 않을 뿐인데요, indexing 기법을 활용하면 chisq.test() 함수로 카이제곱 검정 실행한 후에 다양한 통계량들을 선별해서 볼 수도 있고, 통계량을 다른 분석 혹은 애플리케이션에 input으로 넣어 재활용할 수도 있습니다.  R의 큰 장점 중의 하나이니 팁으로 알아두면 좋겠습니다. 주요 통계량 몇 개를 아래에 소개합니다.

 

 

> # To see results of chisquared test
> chisq.test_output_1 <- chisq.test(obs, p=null.probs)
> 
> chisq.test_output_1$observed # observed frequency
[1] 19 41 40
> chisq.test_output_1$expected # expected frequeycy
[1] 20 30 50
> chisq.test_output_1$residuals # residual between observed and expected frequecy
[1] -0.2236068  2.0083160 -1.4142136
> 
> chisq.test_output_1$statistic # chi-squared statistics
X-squared 
 6.083333 
> chisq.test_output_1$parameter # degrees of freedom
df 
 2 
> chisq.test_output_1$p.value # P-value
[1] 0.04775523

 

 

 

참고로 하나더, 검정통계량 X^2는 귀무가설 H0가 참이라는 가정 하에 근사적으로 자유도가 k-1 인 카이제곱분포를 따르는 것으로 알려져 있습니다.  (☞ 카이제곱 분포(Chi-squared distribution) 참고 포스팅)

 

카이제곱 검정에 사용하는 카이제곱 분포는 범주형 자료의 도수 추정에 사용되는데요, 이때 도수가 너무 작으면 "카이제곱 approximation)이 정확하지 않을 수도 있습니다" 라는 경고메시지가 뜹니다.

 

 

> # Warning message when there are not sufficient frequencies > # R will issue a warning message if any of the EFs fall below 5

> obs_2 <- c(5, 5) > null.probs_2 <- c(0.3, 0.7) > > chisq.test(obs_2, p=null.probs_2) Chi-squared test for given probabilities data: obs_2 X-squared = 1.9048, df = 1, p-value = 0.1675 Warning message: In chisq.test(obs_2, p = null.probs_2) : 카이제곱 approximation은 정확하지 않을수도 있습니다

 

 

 

 

  • (b) chisqtest() of data from a table object

위의 문제는 텍스트 문제로 도수와 확률이 주어지면 'x'와 'p'를 직접 입력하였는데요, 데이터가 Table object 형태로 주어졌을 때 카이제곱 검정으로 적합도 검정하는 방법을 소개하겠습니다.

 

R에 내장된 HairEyeColor table 데이터셋에 있는 Hair 요인 변수를 대상으로, Hair의 요인 수준(factor levels, 혹은 계급 class) 별로 생물학자가 주장하기를 확률이 Black 20%, Brown 50%, Red 10%, Blond 20% 라고 하는데요, 유의수준 α 0.05 로 검정을 해보겠습니다.

 

> ##------------
> # chisq.test() of data from a table object
> str(HairEyeColor) 
 table [1:4, 1:4, 1:2] 32 53 10 3 11 50 10 30 10 25 ...
 - attr(*, "dimnames")=List of 3
  ..$ Hair: chr [1:4] "Black" "Brown" "Red" "Blond"
  ..$ Eye : chr [1:4] "Brown" "Blue" "Hazel" "Green"
  ..$ Sex : chr [1:2] "Male" "Female"
> 
> HairEyeColor 
, , Sex = Male

       Eye
Hair    Brown Blue Hazel Green
  Black    32   11    10     3
  Brown    53   50    25    15
  Red      10   10     7     7
  Blond     3   30     5     8

, , Sex = Female

       Eye
Hair    Brown Blue Hazel Green
  Black    36    9     5     2
  Brown    66   34    29    14
  Red      16    7     7     7
  Blond     4   64     5     8

> 
> dimnames(HairEyeColor)
$Hair
[1] "Black" "Brown" "Red"   "Blond"

$Eye
[1] "Brown" "Blue"  "Hazel" "Green"

$Sex
[1] "Male"   "Female"

> 
> margin.table(HairEyeColor, 1) # Hair
Hair
Black Brown   Red Blond 
  108   286    71   127 
> margin.table(HairEyeColor, 2) # Eye
Eye
Brown  Blue Hazel Green 
  220   215    93    64 
> margin.table(HairEyeColor, 3) # Sex
Sex
  Male Female 
   279    313 
> 
> # vector of observed frequencies and probabilities
> Hair_Freq <- c(margin.table(HairEyeColor, 1))
> Hair_Freq
Black Brown   Red Blond 
  108   286    71   127 
> Hair_Prob <- c(0.2, 0.5, 0.1, 0.2)
> 
> chisq.test(x=Hair_Freq, p=Hair_Prob)

	Chi-squared test for given probabilities

data:  Hair_Freq
X-squared = 4.228, df = 3, p-value = 0.2379

 

 

 

  • (c) chisq.test() of data from Data Frame

 

데이터가 텍스트, Table object가 아니고 Data Frame일 경우에 카이제급 검정하는 방법도 소개해드리겠습니다.  MASS 패키지에 내장된 Cars93 Data Frame 을 이용하며, 자동차종(Type)의 이론상 분포 Compact 20%,  Large 10%, Midsize 20%, Small 20%, Sporty  20%, Van 10% 에 대해서 유의수준 α 0.05로 검정해보겠습니다. 

data(data frame, package="xxx"), table() 함수를 이용합니다.

 

> ##------------
> # chisq.test() of data from data frame
> data(Cars93, package="MASS")
> head(Cars93)
  Manufacturer   Model    Type Min.Price Price Max.Price MPG.city MPG.highway            AirBags
1        Acura Integra   Small      12.9  15.9      18.8       25          31               None
2        Acura  Legend Midsize      29.2  33.9      38.7       18          25 Driver & Passenger
3         Audi      90 Compact      25.9  29.1      32.3       20          26        Driver only
4         Audi     100 Midsize      30.8  37.7      44.6       19          26 Driver & Passenger
5          BMW    535i Midsize      23.7  30.0      36.2       22          30        Driver only
6        Buick Century Midsize      14.2  15.7      17.3       22          31        Driver only
  DriveTrain Cylinders EngineSize Horsepower  RPM Rev.per.mile Man.trans.avail Fuel.tank.capacity
1      Front         4        1.8        140 6300         2890             Yes               13.2
2      Front         6        3.2        200 5500         2335             Yes               18.0
3      Front         6        2.8        172 5500         2280             Yes               16.9
4      Front         6        2.8        172 5500         2535             Yes               21.1
5       Rear         4        3.5        208 5700         2545             Yes               21.1
6      Front         4        2.2        110 5200         2565              No               16.4
  Passengers Length Wheelbase Width Turn.circle Rear.seat.room Luggage.room Weight  Origin
1          5    177       102    68          37           26.5           11   2705 non-USA
2          5    195       115    71          38           30.0           15   3560 non-USA
3          5    180       102    67          37           28.0           14   3375 non-USA
4          6    193       106    70          37           31.0           17   3405 non-USA
5          4    186       109    69          39           27.0           13   3640 non-USA
6          6    189       105    69          41           28.0           16   2880     USA
           Make
1 Acura Integra
2  Acura Legend
3       Audi 90
4      Audi 100
5      BMW 535i
6 Buick Century
> str(Cars93)
'data.frame':	93 obs. of  27 variables:
 $ Manufacturer      : Factor w/ 32 levels "Acura","Audi",..: 1 1 2 2 3 4 4 4 4 5 ...
 $ Model             : Factor w/ 93 levels "100","190E","240",..: 49 56 9 1 6 24 54 74 73 35 ...
 $ Type              : Factor w/ 6 levels "Compact","Large",..: 4 3 1 3 3 3 2 2 3 2 ...
 $ Min.Price         : num  12.9 29.2 25.9 30.8 23.7 14.2 19.9 22.6 26.3 33 ...
 $ Price             : num  15.9 33.9 29.1 37.7 30 15.7 20.8 23.7 26.3 34.7 ...
 $ Max.Price         : num  18.8 38.7 32.3 44.6 36.2 17.3 21.7 24.9 26.3 36.3 ...
 $ MPG.city          : int  25 18 20 19 22 22 19 16 19 16 ...
 $ MPG.highway       : int  31 25 26 26 30 31 28 25 27 25 ...
 $ AirBags           : Factor w/ 3 levels "Driver & Passenger",..: 3 1 2 1 2 2 2 2 2 2 ...
 $ DriveTrain        : Factor w/ 3 levels "4WD","Front",..: 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 ...
 $ Cylinders         : Factor w/ 6 levels "3","4","5","6",..: 2 4 4 4 2 2 4 4 4 5 ...
 $ EngineSize        : num  1.8 3.2 2.8 2.8 3.5 2.2 3.8 5.7 3.8 4.9 ...
 $ Horsepower        : int  140 200 172 172 208 110 170 180 170 200 ...
 $ RPM               : int  6300 5500 5500 5500 5700 5200 4800 4000 4800 4100 ...
 $ Rev.per.mile      : int  2890 2335 2280 2535 2545 2565 1570 1320 1690 1510 ...
 $ Man.trans.avail   : Factor w/ 2 levels "No","Yes": 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ...
 $ Fuel.tank.capacity: num  13.2 18 16.9 21.1 21.1 16.4 18 23 18.8 18 ...
 $ Passengers        : int  5 5 5 6 4 6 6 6 5 6 ...
 $ Length            : int  177 195 180 193 186 189 200 216 198 206 ...
 $ Wheelbase         : int  102 115 102 106 109 105 111 116 108 114 ...
 $ Width             : int  68 71 67 70 69 69 74 78 73 73 ...
 $ Turn.circle       : int  37 38 37 37 39 41 42 45 41 43 ...
 $ Rear.seat.room    : num  26.5 30 28 31 27 28 30.5 30.5 26.5 35 ...
 $ Luggage.room      : int  11 15 14 17 13 16 17 21 14 18 ...
 $ Weight            : int  2705 3560 3375 3405 3640 2880 3470 4105 3495 3620 ...
 $ Origin            : Factor w/ 2 levels "USA","non-USA": 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ...
 $ Make              : Factor w/ 93 levels "Acura Integra",..: 1 2 4 3 5 6 7 9 8 10 ...
> 
> Car_Type <- table(Cars93$Type)
> Car_Type

Compact   Large Midsize   Small  Sporty     Van 
     16      11      22      21      14       9 
> Car_Type_Prob <- c(0.2, 0.1, 0.2, 0.2, 0.2, 0.1)
> 
> chisq.test(x=Car_Type, p=Car_Type_Prob)

	Chi-squared test for given probabilities

data:  Car_Type
X-squared = 2.7527, df = 5, p-value = 0.738

 

 

 

이상으로 다양한 형태의 데이터셋을 활용해서 적합도 검정(goodness of fit test)을 카이제곱 검정 기법을 사용해서 하는 방법을 소개하였습니다.

 

다음번 포스팅에서는 (2) 독립성 검정(test of independence) , (3) 동질성 검정 (test of homogeneity)대해서 알아보도록 하겠습니다.

 

많은 도움이 되었기를 바랍니다.

 

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Posted by R Friend R_Friend


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