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  1. 2016.01.19 [선형대수] 선형독립(linearly independent), 선형종속(linearly dependent) (5)

이번 포스팅에서는 선형독립 혹은 1차 독립(linearly independent)과 선형종속 혹은 1차 종속(linearly dependent)에 대해서 알아보겠습니다. 

 

선형독립 혹은 1차 독립 (linearly independent) 개념은 나중에 이어서 소개할 기저(base)와 차원(dimension), 행렬의 계수(rank)와 선형연립방정식의 존재성(existence), 유일성(uniqueness), 가우스 소거법(Gauss Jordan Elimination)과의 관계 등에 줄줄이 연관이 되어있으므로 정확히 이해하는 것이 필요합니다.  선형독립에 대한 이해가 집의 주춧돌인 셈입니다.  집을 지을 때 주춧돌이 부실하면 나중에 집이 무너지는 수가 있습니다.  차원을 정의하고 선형연립방정식 푸는데 가장 밑에 받쳐주는 개념이 선형독립(linearly independent) 개념이므로 배워야 합니다.  

 

 

[ 선형독립과 선형대수의 관계 ]

(relation between linearly independent/dependent and linear algebra)

 

 

 

 

 

 

다변량통계분석 책을 보면 선형독립(linearly independent) 개념이 텍스트로만 해서 3~5줄로 설명이 되어있습니다. 그래서 선형대수를 따로 배우지 않은 분이라면 처음에는 이게 뭔소리인가 하고 이해하기 매우 힘들것 같습니다. 어디에 쓰는지, 왜 배우는지도 잘 모를것 같기도 하구요. 하지만 처음에는 이해가 잘 안되더라도 중요한 개념이므로 2번, 3번 계속 읽어보시고 다른 자료도 찾아서 공부해두시면 좋겠습니다.  (공과 대학원 준비하는 분이라면 행렬의 계수(rank)를 비롯한 선형대수 문제는 구술시험 반드시 나온다에 500원 걸겠습니다. 그만큼 중요하다는 얘기입니다.)  선형독립(linearly independent) 정의가 다음번에 포스팅할 기저(base)와 좀 헷갈릴 수 가 있으므로 정확히 이해하시기 바랍니다.

 

텍스트로 선형독립(linearly independent)을 정의하면 아래와 같습니다. 좀 어렵지요? ^^;

 

 

 

 

위의 텍스트 정의와 똑같은데요, 이걸 좀더 쉽게 풀어서 벡터를 직접 입력해서 다시 한번 설명하자면 아래와 같습니다. 

 

 

 

 

선형독립의 개념을 좀더 쉽게 이해할 수 있도록 아래에 기하하적인 해석을 덧붙여서 선형독립인 예와 선형종속인 예를 몇 개 들어보겠습니다. 

 

 

(1) R^2 의 두 벡터 (1, 0), (0, 1)은 선형독립임.

 

 

 

 

(2) R^3 의 두 벡터 (1, 0, 0), (0, 1, 0) 은 선형독립임.

 

 

 

 

 

(3) R^3의 세 벡터 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)은 선형독립임.

 

 

 

 

아래는 선형종속(linearly dependent) 예입니다.

 

(4) R^3 의 세 벡터 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (2, 1, 0)은 선형종속임.

 

 

 

 

제로벡터 (0, 0, 0) 에 대한 R^3 의 세 벡터 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (2, 1, 0)의 해가 (c1=0, c2=0, c3=0) 말고도 (c1=2, c2=1, c3=-1), (c1=-2, c2=-1, c3=1) 등도 추가로 더 있으므로 선형종속 혹은 1차 종속 (linearly dependent)가 됩니다. 

 

해 (c1=2, c2=1, c3=-1) 을 좌표로 그려보면 아래와 같습니다. 돌고, 돌고, 돌아서 제로벡터 (0, 0, 0)으로 돌아왔음을 알 수 있습니다.

 

 

 

 

또 다른 해 (c1=2, c2=-1, c3=1) 을 좌표로 그려보면 아래와 같습니다.  이 해 역시 돌고, 돌고, 돌아서 제로벡터 (0, 0, 0)으로 돌아왔음을 알 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

(5) R^3 의 네 벡터 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (2, 2, 2)는 선형종속임.

 

 

 

위의 R^3의 네 벡터에 대한 해 (c1=2, c2=2, c3=2, ㅊ4=-1) 을 좌표로 그려보면 아래와 같습니다.  이 해 역시 돌고, 돌고, 돌아서 제로벡터 (0, 0, 0)으로 돌아왔음을 알 수 있습니다.  좌표의 이동 경로가 좀 헷갈릴 수도 있는데요, 색깔을 참조해서 유심히 살펴보시기 바랍니다.

 

 

 

수식 입력이랑 그래프 그리다보니 시간 엄청 걸리네요. 헉, 헉... ^^;

 

다음 포스팅에서는 기저(base)에 대해서 소개하고, 선형독립과 비교를 해보겠습니다.

 

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Posted by R Friend R_Friend

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  1. 제이슨본 2016.08.04 12:59  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    전문적인 글 잘보고 갑니다. 다음편이 기대됩니다.

  2. Ashtray Kim 2016.10.16 15:46  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    좋은글 감사합니다!

  3. Lalipuna 2017.09.11 17:31  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    복습겸 다시 보고 있는데 이번편을 보다보니 정리되는 것이 있어 적어보면, 회전을 고려하지 않는다면 선형독립이 되는 벡터들은 서로가 같은 행의 값을 가지지 않을때(=회전을 고려할시 각 벡터들이 서로 직교를 이룬다면)만 성립이 되네요.(예를들어, 두 벡터(2,0)과(0,7) 혹은 세 벡터 (-1,0,0),(0,5,0)(0,0,8) 등..(1,1)과 (1,-1)의경우는 45도 회전하면 (1,0)과(0,1)로 회전시킬 수 있으니 선형독립 관점에서는 동일한 개념으로 생각) 이렇게 보다보니까 또, 벡터 차수에 따라 비교되는 선형독립인 벡터 최대갯수는 정해져 있는것 같군요. R^n의 벡터의 경우 비교하는 벡터의 갯수가 n보다 크면 무조건 선형종속이 되는군요.(같은 행을 가지는 벡터가 하나 이상이 되기 때문) 따라서, 마지막에 선형종속 예시(5)번의 경우와 같이 3차원 공간에 4개의 벡터들이므로 무조건 선형종속.결국, 어떤분야에서 n차원 공간에 선형독립인 벡터들를 구성하려면 n개보다 적은 갯수밖에 사용할 수 없겠네요. 실제로 선형독립을 사용하는 분야에서는 보통 2개의 벡터를 비교하는 경우가 일반적인가요? 아니면 여러개의 벡터를 비교하는 경우도 있는건가요? 의문점이 들긴하네요. 두서없이 적어 죄송합니다. 항상 잘보고 있습니다.