'basis'에 해당되는 글 1건

  1. 2016.01.24 [선형대수] 기저 (Basis) (11)

지난번 포스팅에서 선형독립 또는 1차 독립 (linearly independent), 선형종속 또는 1차 종속 (linearly dependent) 에 대해서 알아보았습니다.

 

이번 포스팅에서는 기저 (basis)와 차원 (dimension)에 대해서 알아보겠습니다.  선형독립의 정의를 알지못하면 기저를 이해할 수 없으며, 선형독립과 기저의 개념이 헷갈릴 수도 있습니다. 따라서 혹시 선형독립(linearly independent)에 대해서 잘 모르고 있거나 가물가물하다면 이전 선형독립 포스팅을 다시 한번 살펴보시길 바랍니다.

(☞ 선형독립(linearly independent), 선형종속(linearly dependent) 바로가기)

 

 

기저(basis, 基底)란 어떤 벡터공간 V의 벡터들이 선형독립이면서 벡터공간 V 전체를 생성할 수 있다면 이 벡터들의 집합을 말합니다.  다른 말로 표현하자면, 기저는 "R^m의 임의의 원소를 표현하기 위해 필요한 최소한의 벡터로 이루어진 집합"입니다.

 

 

[ 기저의 정의 (definition of basis) ]

 

 

 

 

 

위의 정의에 따라, 기저인 예와 기저가 아닌 예를 아래에 들어보겠습니다.  실제 예를 보시면 이해가 좀더 쉬울 것입니다.

 

  • 기저인 예 (example of a basis)

     : 2 차원 (2 dimension)

 

 

 

 

  : 3차원 (3 dimension)

 

 

 

 

  • 기저가 아닌 예 (not a basis)

   : 2차원 (2 dimension)

     --> 2차원의 임의의 원소를 표현하는데 필요한 최소한의 벡터는 2개인데 반해, 아래의 예는 4개의 벡터로 구성되어 있으므로 군더더기 벡터가 2개나 더 있는 셈입니다.  그러므로 "m차원의 임의의 원소를 표현하기 위해 필요한 최소의 벡터로 이루어진 집합"인 기저(basis)가 아닌 것입니다.

 

 

 

 

 

 

   : 3차원 (3 dimension)

  --> 3차원의 임의의 원소를 표현하기 위해서 필요한 최소한의 벡터는 3개인데요, 아래의 예는 3개의 벡터로 되어 있으므로 위의 2차원 예와는 조금 다른 경우입니다. 아래의 예는 3개 벡터의 세번째 원소가 모두 '0'으로 되어 있어서 3차원의 세번째 차원을 표현할 방법이 없으므로 기저가 아닌 경우입니다. 즉, 위의 2차원 예에서는 해가 2개 이상이어서 기저가 아닌 경우이며, 아래의 3차원 예의 경우는 해가 아예 하나도 존재하지 않기 때문에 기저가 아닌 경우입니다.  물론, 위의 2차원 예에서처럼 3차원(R^3)인데 원소가 '0'이 아닌 벡터가 3개를 초과한다면 군더더기 벡터가 존재하게 되어 기저가 아니게 되겠지요.

 

 

 

 

 

 

아래의 R^3의 두 벡터 (1, 0, 0), (0, 1, 0) 역시 기저가 아닙니다.  3차원의 임의의 원소를 표현하기 위한 최소한의 벡터 개수는 3개인데 반해 2개 밖에 없어서 1개가 모자라기 때문입니다. 세번째 차원의 원소 (0, 0, 1)을 표현할 방법이 없으므로 기저의 정의를 만족시키지 못합니다.

  

 

 

 

바로 위의 예가 기저가 아니라고 했는데요, 그러면 R^3의 두 벡터 (1, 0, 0), (0, 1, 0)은 선형독립일까요?  선형독립이지요.  기저는 아닌데 선형독립인 예입니다.

 

 

 

 

 

아래에 선형독립과 기저의 정의를 복습하는 의미에서 다시 한번 정리하여 보았습니다.  선형독립(linearly independent)은 제로벡터(zero vector) (0, 0, ..., 0)에 한정된 개념인데 반해, 기저(basis)s는 R^m (m dimension)의 모든 벡터를 대상으로 하는 개념입니다.

 

 

[ 선형독립 vs. 기저  정의 (definition of linearly independent and basis) ]

 

 

 

 

벡터공간, 부분공간, 차원(dimension)에 대해서는 나중에 추가로 덧붙여서 설명하겠습니다.

 

이번 포스팅이 도움이 되었다면 아래의 공감 ♡ 꾸욱~ 눌러주세요. ^^

 

 

 

Posted by R Friend R_Friend

댓글을 달아 주세요

  1. Laci 2016.02.21 17:49  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    정말 감사드립니다. 인강을 보아도 전혀 이해가 되지 않던 개념들이 그림으로 보니까 훨씬 이해가 잘 되었습니다. 정말 감사드려요!

  2. 감사해요 ㅠㅠ 2016.03.09 22:50  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    감사합니다정말 ㅠㅠㅠㅠ 뒷부분도 계속 정독할텐데요 너무 감사해서 댓글을 안달수가없네요 ㅠㅠㅠ ! 천재세요?? 너무 잘정리해주셨어요 ㅠㅠ 예시까지도 들어주셔서 이해가 아주 쏙쏙돼요 ㅠㅠ 학교에서 강의들어도 하나도 모르겠던데 덕분에 이해했습니다♥.♥

  3. dd 2016.04.16 04:29  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    (1 0 0) , (0 1 0 ) 이 세번째 원소가 0이라서 R^3 를 만족시키지 못하고 하셨는데, 만약 (1 0 0 ) (0 1 1 ) 이라면 R^3 를 만족시킬수 있나요????

    • R Friend R_Friend 2016.04.16 09:40 신고  댓글주소  수정/삭제

      (1). (1 2 1)T=c1(1 0 0)T + c2(0 1 0)T 문제 말씀하시는거죠? 만약 오른쪽으 두번째 벡터가 c2(0 1 1)T 라고 했을때 으를 만족하는 c2 해가 존재하지 않으므로 기저가 아닙니다.

      (2). 만약 (1 2 1)T = c1( 1 0 0) + c2(0 1 0) + c3(0 0 1) 처럼 3차원으로 이루어진 벡터 집합은 해가 c1=1, c2=2, c3=1 ㄹㅎ서 유일하게 한개의 조만 존재하므로 기저가 됩니다.

  4. 행대 2016.05.01 16:50  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    R프로젝트로 벡터들이 선형독립인지 증명할 수 있나요? 선형독립인지 종속인지 확인하라는데 스크립트를 어떻게 짜야할지 모르겠습니다...

  5. Ashtray Kim 2016.10.16 16:42  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    그림으로 다양한 예시를 보여주시니...
    그간 해야겠다고 맘만 먹고 이해가 어려웠던 부분이 해결되네요
    감사합니다!

  6. 공부하자 2018.06.20 14:28  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    저도 위에분 dd님이랑 비슷한 질문있습니다. 3차원의 임의의 원소를 표현하기 위한 최소한의 벡터 개수는 3개여야 한다는 것을 잘모르겠어요...

    만약 (1 0 0 ) (0 2 1) 이라면 R^3 를 만족하는 거 아닌가요?? 제가 선형대수 기초가 없어서.. ㅠㅠ 혹시 (0 2 1)은 못쓰는 벡터인가요??