지난번 포스팅에서는 ANOVA 검정 시 집단 간 평균에 유의미한 차이가 있다고 판단될 때 사후 분석으로 다중비교((post-hoc pair-wise multiple comparison)을 하는 방법 중에 Tukey's HSD(honestly significant difference) test에 대해서 알아보았습니다.
이번 포스팅에서는 다중비교(multiple comparison)을 하는 두번째 방법으로 Duncan's LSR(Least Significant Range) test에 대해서 알아보도록 하겠습니다.
[ 사후검정 다중비교(post-hoc pair-wise multiple comparison) ]
기본 개념은 짝을 이룬(pair-wise) 수준평균간의 차이가 아래에 제시된 Duncan의 최소유의범위(Least Significant Range) 보다 크다면 "유의수준 α에서 두 수준평균간에는 차이가 있다"고 판단하겠다는 것입니다.
[ Duncan's LSR(least significant range) test procedure ]
Duncan's LSR test는 앞서 포스팅했던 Tukey's HSD test보다도 약간 더 보수적입니다. 그래서 Tukey's HSD test에서는 차이가 없다고 나오는 짝을이룬 수준평균간에도 Duncan's LSR test에서는 차이가 있다고 판정하는 경우도 있습니다.
R을 가지고 Duncan's LSR test를 하는데 있어
- duncan.test() function of agricolase package
- LDuncan() function of laercio package
두가지 함수를 차례로 사용해보겠습니다.
온도의 조건 3가지에 따른 생산량을 각10번씩 측정한 아래의 데이터를 가지고 (1) ANOVA test를 먼저 해보고, (2) 사후 분석으로 Duncan's LSR test를 위의 2가지 패키지의 함수를 가지고 각각 실시해보겠습니다.
|
> ##----------------------------------------------------------
> ## multiple comparison
> ## - Duncan's LSR(least significant range) test :
> ##----------------------------------------------------------
>
> ##--- Are there any daily outcome differences among temperature conditions?
> # group 1 : temperature condition 1
> # group 2 : temperature condition 2
> # group 3 : temperature condition 3
>
> # daily outcome by tmep condition (group 1/2/3)
> y1 <- c(50.5, 52.1, 51.9, 52.4, 50.6, 51.4, 51.2, 52.2, 51.5, 50.8)
> y2 <- c(47.5, 47.7, 46.6, 47.1, 47.2, 47.8, 45.2, 47.4, 45.0, 47.9)
> y3 <- c(46.0, 47.1, 45.6, 47.1, 47.2, 46.4, 45.9, 47.1, 44.9, 46.2)
>
> y <- c(y1, y2, y3)
> y
[1] 50.5 52.1 51.9 52.4 50.6 51.4 51.2 52.2 51.5 50.8 47.5 47.7 46.6 47.1 47.2 47.8 45.2 47.4 45.0
[20] 47.9 46.0 47.1 45.6 47.1 47.2 46.4 45.9 47.1 44.9 46.2
>
> n <- rep(10, 3)
> n
[1] 10 10 10
>
> group <- rep(1:3, n)
> group
[1] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
>
> # combining into data.frame
> group_df <- data.frame(y, group)
> group_df
y group
1 50.5 1
2 52.1 1
3 51.9 1
4 52.4 1
5 50.6 1
6 51.4 1
7 51.2 1
8 52.2 1
9 51.5 1
10 50.8 1
11 47.5 2
12 47.7 2
13 46.6 2
14 47.1 2
15 47.2 2
16 47.8 2
17 45.2 2
18 47.4 2
19 45.0 2
20 47.9 2
21 46.0 3
22 47.1 3
23 45.6 3
24 47.1 3
25 47.2 3
26 46.4 3
27 45.9 3
28 47.1 3
29 44.9 3
30 46.2 3
>
> sapply(group_df, class)
y group
"numeric" "integer"
>
> # transform from 'integer' to 'factor'
> group_df <- transform(group_df, group = factor(group))
> sapply(group_df, class)
y group
"numeric" "factor"
>
>
> # (1) ANOVA test
> aov_model <- aov(y ~ group, data = group_df)
> summary(aov_model)
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
group 2 156.30 78.15 108.8 1.2e-13 ***
Residuals 27 19.39 0.72
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
>
>
> # (2-1) Duncan's LSR(least significant range) test > # with duncan.test() function of agricolase package
> install.packages("agricolae")
Installing package into ‘C:/Users/user/Documents/R/win-library/3.2’
(as ‘lib’ is unspecified)
trying URL 'http://cran.rstudio.com/bin/windows/contrib/3.2/agricolae_1.2-3.zip'
Content type 'application/zip' length 921635 bytes (900 KB)
downloaded 900 KB
package ‘agricolae’ successfully unpacked and MD5 sums checked
The downloaded binary packages are in
C:\Users\user\AppData\Local\Temp\RtmpYhI0Fo\downloaded_packages > library(agricolae)
> duncan.test(aov_model, "group", alpha = 0.05, console = TRUE)
Study: aov_model ~ "group"
Duncan's new multiple range test
for y
Mean Square Error: 0.7182593
group, means
y std r Min Max
1 51.46 0.6834553 10 50.5 52.4
2 46.94 1.0415800 10 45.0 47.9
3 46.35 0.7763876 10 44.9 47.2
alpha: 0.05 ; Df Error: 27
Critical Range
2 3
0.7776731 0.8170522
Means with the same letter are not significantly different.
Groups, Treatments and means
a 1 51.46
b 2 46.94
b 3 46.35
>
> >
> # (2-2) Duncan's LSR(least significant range) test > # with LDuncan() function of laercio package
> install.packages("laercio")
Installing package into ‘C:/Users/user/Documents/R/win-library/3.2’
(as ‘lib’ is unspecified)
trying URL 'http://cran.rstudio.com/bin/windows/contrib/3.2/laercio_1.0-1.zip'
Content type 'application/zip' length 20726 bytes (20 KB)
downloaded 20 KB
package ‘laercio’ successfully unpacked and MD5 sums checked
The downloaded binary packages are in
C:\Users\user\AppData\Local\Temp\RtmpYhI0Fo\downloaded_packages > library(laercio)
> aov_model <- aov(y ~ group, data = group_df)
> LDuncan(aov_model, "group")
DUNCAN TEST TO COMPARE MEANS
Confidence Level: 0.95
Dependent Variable: y
Variation Coefficient: 1.75648 %
Independent Variable: group
Factors Means
1 51.46 a
2 46.94 b
3 46.35 b
Restarting R session...
|
결과를 해석해보면, (1) ANOVA 검정 결과 P-value가 1.2e-13 로서 유의수준 0.05보다 매우 작으므로 "집단간 평균에 차이가 있다"는 대립가설을 채택할 수 있습니다.
(2) 이에 사후분석으로 "어느 집단 간에 차이가 있는가?"를 알아보기 위해 Duncan's LSR test 를 해보니,
온도의 조건에 따른 3가지 factor level 별 생산량의 평균은 아래와 같았고, factor level '2'와 '3'은 서로 차이가 없고, factor level '1'만 짝을 이룬 수준평균간에 차이가 있다고 나왔습니다.
|
factor level |
mean |
group |
significantly different? |
|
1 |
51.46 |
a *** |
different |
|
2 |
46.94 |
b |
not different |
|
3 |
46.35 |
b |
차이가 있다고 판단한 근거를 보면, MSE(mean squared error) 가 0.7182593 이고, 이 값을 위에서 제시했던 Duncan's LSR(Least Significant Range)를 계산하는 공식에 넣어서 계산을 해보면, 위에 R분석결과에 Critical Range 라고 해서 LSR2 = 0.7776731, LSR3 = 0.8170522 가 나왔습니다. 이 값들보다 수준집단간 평균의 차이가 더 크면 차이가 있다고 판단하게 되는 것입니다.
3개 수준평균을을 크기 순서대로 배열한 후에 각 차이를 구한 것을 표로 제시해보면 아래와 같으며, 이 값들이 LSR2 = 0.7776731, LSR3 = 0.8170522 보다 크면 *** 표시를 했습니다.
(LSR2 는 인접한 수준들간의 평균 차이를 의미, LSR3는 2단계 떨어진 수준들간의 평균 차이를 의미)
|
|
mean of factor level 3:
46.35 |
mean of factor level 2:
46.94 |
mean of factor level 1:
51.46 |
|
mean of factor level 3:
46.35 |
- |
0.59 |
5.11 *** |
|
mean of factor level 2:
46.94 |
|
- |
4.52 *** |
|
mean of factor level 1:
51.46 |
|
|
- |
많은 도움 되었기를 바랍니다.
☞ one-way ANOVA 참고
☞ 다중비교(multiple comparison) Tukey's HSD(honestly significant difference) test 참고
☞ 대비(contrast) Scheffe test 참고
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